Question

設(shè)，對任意實(shí)數(shù)，記．

（I）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（II）求證：

（）當(dāng)時，對任意正實(shí)數(shù)成立；

（）有且僅有一個正實(shí)數(shù)，使得對任意正實(shí)數(shù)成立．

Answer 1

本題主要考查函數(shù)的基本性質(zhì)，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用及不等式的證明等基礎(chǔ)知識，以及綜合運(yùn)用所學(xué)知識分析和解決問題的能力．

（I）解：．

由，得

．

因?yàn)楫?dāng)時，，

當(dāng)時，，

當(dāng)時，，

故所求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，，

單調(diào)遞減區(qū)間是．

（II）證明：（i）方法一：

令，則

，

當(dāng)時，由，得，

當(dāng)時，，

所以在內(nèi)的最小值是．

故當(dāng)時，對任意正實(shí)數(shù)成立．

方法二：

對任意固定的，令，則

，

由，得．

當(dāng)時，．

當(dāng)時，，

所以當(dāng)時，取得最大值．

因此當(dāng)時，對任意正實(shí)數(shù)成立．

（ii）方法一：

．

由（i）得，對任意正實(shí)數(shù)成立．

即存在正實(shí)數(shù)，使得對任意正實(shí)數(shù)成立．

下面證明的唯一性：

當(dāng)，，時，

，，

由（i）得，，

再取，得，

所以，

即時，不滿足對任意都成立．

故有且僅有一個正實(shí)數(shù)，

使得對任意正實(shí)數(shù)成立．

方法二：對任意，，

因?yàn)?sub>關(guān)于的最大值是，所以要使對任意正實(shí)數(shù)成立的充分必要條件是：

，

即，                             ①

又因?yàn)?sub>，不等式①成立的充分必要條件是，

所以有且僅有一個正實(shí)數(shù)，

使得對任意正實(shí)數(shù)成立．