Question

12．已知函數(shù)f（x）=x•|x|-2x．
（1）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性，并證明；
（2）求函數(shù)f（x）的零點(diǎn)；
（3）畫出y=f（x）的圖象，并結(jié)合圖象寫出方程f（x）=m有三個(gè)不同實(shí)根時(shí)，實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（4）寫出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）對(duì)于函數(shù)f（x），先分析其定義域，進(jìn)而分析可得f（-x）=-f（x），即可證明函數(shù)f（x）為奇函數(shù)；
（2）令f（x）=0，x•|x|-2x=0，解可得x的值，由函數(shù)零點(diǎn)的定義，即可得答案；
（3）將f（x）的解析式變形可得f（x）=x•|x|-2x=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-2x，x≥0}\\{{x}^{2}+2x，x＜0}\end{array}\right.$，據(jù)此作出函數(shù)的圖象；若方程f（x）=m有三個(gè)不同實(shí)根，則函數(shù)f（x）的圖象與直線y=m有三個(gè)不同的交點(diǎn)，由圖象可得實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（4）由圖象，分析可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，即可得答案．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，
證明：對(duì)于函數(shù)f（x）=x•|x|-2x，其定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；
任取x∈R，-x∈R，
有f（-x）=-x•|-x|+2x=-x•|x|+2x，而-f（x）=-x•|x|+2x，
f（-x）=-f（x），
函數(shù)f（x）為奇函數(shù)；
（2）令f（x）=0，x•|x|-2x=0，
所以x（|x|-2）=0，
解得x=0或|x|=2
所以函數(shù)的零點(diǎn)為-2，0，2；
（3）f（x）=x•|x|-2x=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-2x，x≥0}\\{{x}^{2}+2x，x＜0}\end{array}\right.$，其圖象如圖：
若方程f（x）=m有三個(gè)不同實(shí)根，則函數(shù)f（x）的圖象與直線y=m有三個(gè)不同的交點(diǎn)，
由圖象可得實(shí)數(shù)m的取值范圍為（-1，1）；
（4）f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，-1），（1，+∞），f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（-1，1）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查分段函數(shù)的應(yīng)用，涉及函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性的判定，零點(diǎn)的求法，關(guān)鍵是理解函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性以及零點(diǎn)的定義．