Question

16．若對(duì)任意a∈[3，5]關(guān)于x的方程x²-$\frac{m}{a-1}$x-6=0在區(qū)間[3，m]上都有實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（　�。�

• A． {m|m≥4}
• B． {m|m≥2$\sqrt{3}$}
• C． {m|m≤2$\sqrt{3}$或m≥4}
• D． {m|4≤m≤2$\sqrt{3}$}

Answer 1

分析 利用[3，m]推出m＞3，排除選項(xiàng)，然后利用特殊值驗(yàn)證即可．

解答 解：對(duì)任意a∈[3，5]關(guān)于x的方程x²-$\frac{m}{a-1}$x-6=0在區(qū)間[3，m]上都有實(shí)數(shù)解，
可得m＞3，所以，C，D不正確；
當(dāng)m=2$\sqrt{3}$時(shí)，關(guān)于x的方程x²-$\frac{m}{a-1}$x-6=0化為：x²-$\frac{2\sqrt{3}}{a-1}$x-6=0，
命題轉(zhuǎn)化為：對(duì)任意a∈[3，5]關(guān)于x的方程x²-$\frac{2\sqrt{3}}{a-1}$x-6=0在區(qū)間[3，2$\sqrt{3}$]上都有實(shí)數(shù)解，
令y=x²-$\frac{2\sqrt{3}}{a-1}$x-6，則y′=2x-$\frac{2\sqrt{3}}{a-1}$，x∈[3，2$\sqrt{3}$]，a∈[3，5]，y′＞0，函數(shù)y=x²-$\frac{2\sqrt{3}}{a-1}$x-6是增函數(shù)，
f（2$\sqrt{3}$）=6-$\frac{12}{a-1}$≥0，所以對(duì)任意a∈[3，5]關(guān)于x的方程x²-$\frac{m}{a-1}$x-6=0在區(qū)間[3，m]上沒(méi)有實(shí)數(shù)解，
所以m=2$\sqrt{3}$不成立．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，選擇題的解法，考查分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力．