Question

10．設當x=θ時，函數(shù)f（x）=sinx-2cosx取得最大值，則tanθ=$-\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 f（x）解析式提取，利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個角的正弦函數(shù)，由x=θ時，函數(shù)f（x）取得最大值，得到sinθ-2cosθ=$\sqrt{5}$，與sin²θ+cos²θ=1聯(lián)立即可求出cosθ的值和sinθ的值，即可求出答案

解答 解：f（x）=sinx-2cosx=$\sqrt{5}$（$\frac{\sqrt{5}}{5}$sinx-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$cosx）=$\sqrt{5}$sin（x-α）（其中cosα=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，sinα=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$），
∵x=θ時，函數(shù)f（x）取得最大值，
∴sin（θ-α）=1，即sinθ-2cosθ=$\sqrt{5}$＞0，
又sin²θ+cos²θ=1，
聯(lián)立得（2cosθ+$\sqrt{5}$）²+cos²θ=1，解得cosθ=-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴sinθ=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴tanθ=$-\frac{1}{2}$，
故答案為：-$\frac{1}{2}$．

點評 此題考查了兩角和與差的正弦函數(shù)公式，同角三角函數(shù)間的基本關系，以及正弦函數(shù)的定義域與值域，熟練掌握公式是解本題的關鍵．