Question

（08年廈門外國語學(xué)校模擬文）（12分）如圖，平面ABCD⊥平面ABEF，ABCD是正方形，ABEF是矩形，且，G是EF的中點，               

（Ⅰ）求證平面AGC⊥平面BGC；

（Ⅱ）求GB與平面AGC所成角正弦值；               

（Ⅲ）求二面角B―AC―G的平面角的正弦值

 

Answer 1

解析：解法一（幾何法）

   （Ⅰ）證明：正方形ABCD  ∵面ABCD⊥面ABEF且交于AB，

∴CB⊥面ABEF    ∵AG，GB面ABEF，  ∴CB⊥AG，CB⊥BG

又AD=2a，AF=a，ABEF是矩形，G是EF的中點，

∴AG=BG=，AB=2a，AB²=AG²+BG²，∴AG⊥BG   ∵CG∩BG=B，

∴AG⊥平面CBG   面AG面AGC， 故平面AGC⊥平面BGC.…4分

（Ⅱ）解：如圖，由（Ⅰ）知面AGC⊥面BGC，

且交于GC，在平面BGC內(nèi)作BH⊥GC，

垂足為H，則BH⊥平面AGC，  

∴∠BGH是GB與平面AGC所成的角

∴Rt△CBG中

又BG=，∴              ……8分

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，BH⊥面AGC，   作BO⊥AC，垂足為O，連結(jié)HO，

則HO⊥AC，∴∠BOH為二面角B―AC―G的平面角在Rt△ABC中，

在Rt△BOH中， 

即二面角B―AC―G的平面角的正弦值為.         ……12分

[方法二]（向量法）

解法：以A為原點建立直角坐標(biāo)系，則A（0，0，0），

B（0，2a，0），C（0，2a，2a），G（a，a，0），F(xiàn)（a，0，0）

（Ⅰ）證明：略

（Ⅱ）由題意可得，

， 設(shè)平面AGC的法向量為，

由

（Ⅲ）因是平面AGC的法向量，又AF⊥平面ABCD，

平面ABCD的法向量， 得

∴二面角B―AC―G的的平面角的正弦值為.