Question

已知f（x）=x³-x²-2x+c，常數(shù)c是實(shí)數(shù)．
（I）當(dāng)f（x）取得極小值時(shí)，求實(shí)數(shù)x的值；
（II）當(dāng)-1≤x≤2時(shí)，求f（x）的最大值．
（II）當(dāng)-1≤x≤2時(shí)，不等式f（x）＜c²恒成立，求c的取值范圍．

Answer 1

解：（I）∵f（x）=x³-x²-2x+c
∴f′（x）=3x²-x-2
∴方程f′（x）=3x²-x-2=0的兩個(gè)根為-和1，
∵當(dāng)
當(dāng)x＞1時(shí)，f′（x）＞0，
∴當(dāng)x=1時(shí)，f（x）取得極小值．
（II）由（I）知：f′（x）=3x²-x-2
∵當(dāng)x∈[-1，-）時(shí)，f′（x）＞0，
當(dāng)x時(shí)，f′（x）＜0，
當(dāng)x∈（1，2]時(shí)，f′（x）＞0，
∴當(dāng)x∈[-1，-）時(shí)，f（x）是增函數(shù)．
當(dāng)x時(shí)，f（x）是減函數(shù)．
當(dāng)x∈（1，2]時(shí)，f（x）是增函數(shù)．
所以當(dāng)-≤x≤2時(shí)，f（x）的最大值只可能在x=-或者在x=2處取到．
又因?yàn)閒（）=，f（2）=2+c
所以f（2）＞f（-）
所以當(dāng)-1≤x≤2時(shí)，f（x）的最大值為f（2）=2+c．
（III）當(dāng)-1≤x≤2時(shí)，f（x）＜c²恒成立的充要條件是f（x）_最大值＜c²
所以f（2）＜c²即c²＞2+c，解得c＜-1或c＞2．
所以c的取值范圍是（-∞，-1）∪（2，+∞）．
分析：（I）由題意得f′（x）=3x²-x-2所以方程f′（x）=3x²-x-2=0的兩個(gè)根為-和1，又因?yàn)楫?dāng)，當(dāng)x＞1時(shí)，f′（x）＞0，所以可得到答案．
（II）f′（x）=3x²-x-2∵當(dāng)x∈[-1，-）時(shí)，f′（x）＞0，當(dāng)x時(shí)，f′（x）＜0，當(dāng)x∈（1，2]時(shí)，f′（x）＞0，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到函數(shù)的單調(diào)性，通過函數(shù)的單調(diào)性可得當(dāng)-≤x≤2時(shí)，f（x）的最大值只可能在x=-或者在x=2處取到，可得f（2）＞f（-），所以f（x）的最大值為f（2）=2+c．
（III）當(dāng)-1≤x≤2時(shí)，f（x）＜c²恒成立的充要條件是f（x）_最大值＜c²，所以f（2）＜c²即c²＞2+c．
點(diǎn)評：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值、函數(shù)的最值，利用函數(shù)的最值解決恒成立問題，這也是高考考查的熱點(diǎn)之一．