Question

已知拋物線C的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)為F(

1

2

，0)．（1）求拋物線C的方程； （2）已知直線y=k(x+

1

2

) 與拋物線C交于A、B 兩點(diǎn)，且|FA|=2|FB|，求k 的值； （3）設(shè)點(diǎn)P 是拋物線C上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)R、N 在y 軸上，圓（x-1）²+y²=1 內(nèi)切于△PRN，求△PRN 的面積最小值．

Answer 1

分析：（1）設(shè)拋物線C的方程為y²=2px（p＞0），焦點(diǎn)為 F(

1

2

，0)．

p

2

=

1

2

，p=1，從而可求拋物線C的方程．
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由|FA|=2|FB|，得 x1-2x2=

1

2

，將直線與拋物線方程聯(lián)立可得 x1+x2=

2

k2

-1，x1x2=

1

4

，從而問(wèn)題得解．
（3）設(shè)P（x₀，y₀），R（0，b），N（0，c），且b＞c，則直線PR的方程可得，由題設(shè)知，圓心（1，0）到直線PR的距離為1，把x₀，y₀代入化簡(jiǎn)整理可得（x₀-2）b²+2y₀b-x₀=0，同理可得（x₀-2）c²+2y₀c-x₀=0，進(jìn)而可知b，c為方程（x₀-2）x²+2y₀x-x₀=0的兩根，根據(jù)求根公式，可求得b-c，進(jìn)而可得△PRN的面積的表達(dá)式，根據(jù)均值不等式可知當(dāng)x₀=4時(shí)面積最小，進(jìn)而求得點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答：解：（1）設(shè)拋物線C的方程為y²=2px（p＞0），∵

p

2

=

1

2

，∴p=1，∴拋物線C的方程為y²=2x
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由|FA|=2|FB|，得 x1-2x2=

1

2

，又

y=k(x+ 1 2 ) y2=2x

，∴k2x2+(k2-2)x+

k2

4

=0，∴x1+x2=

2

k2

-1，x1x2=

1

4

，∴x1=1，x2=

1

4

，k=±

2 2

3

∵△=4-4k²＞0，∴-1＜k＜1，∴k=±

2 2

3

，
（3）設(shè)P（x₀，y₀），R（0，b），N（0，c），且b＞c，故直線PR的方程為（y₀-b）x-x₀y+x₀b=0．
由題設(shè)知，圓心（1，0）到直線PR的距離為1，即

|y0-b+x0b |

(y0-b )2+x02

=1，注意到x₀＞2，化簡(jiǎn)上式，得（x₀-2）b²+2y₀b-x₀=0，同理可得（x₀-2）c²+2y₀c-x₀=0，由上可知，b，c為（x₀-2）x²+2y₀x-x₀=0的兩根，根據(jù)求根公式，可得 b-c=

4 x 0 2 +4 y 0 2 -8x0

x0-2

=

2x0

x0-2

，故△PRN的面積為
S=

1

2

( b-c )x0=

x 0 2

x0-2

=(x0-2 )+

4

x0-2

+4≥2

(x0-2 )• 4 x0-2

+4=8，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)x₀=4時(shí)成立．此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為 ( 4 ， 2

2

)或 ( 4 ， -2

2

)，
綜上所述，當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為 ( 4 ， 2

2

)或 ( 4 ， -2

2

)時(shí)，△PRN的面積取最小值8．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和直線與拋物線的關(guān)系．直線與圓錐曲線的問(wèn)題常涉及到圓錐曲線的性質(zhì)和直線的基本知識(shí)點(diǎn)，如直線被圓錐曲線截得的弦長(zhǎng)、弦中點(diǎn)問(wèn)題，垂直問(wèn)題，對(duì)稱問(wèn)題．與圓錐曲線性質(zhì)有關(guān)的量的取值范圍等是近幾年命題的新趨向．