Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左右焦點分別為F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），直線l：x=my+c與橢圓C交于兩點M、N，且當(dāng)m=-

3

3

時，M是橢圓C的上頂點，且△MF₁F₂的周長為6．設(shè)橢圓C的左頂點為A，直線AM、AN與直線x=4分別相交于點P、Q，當(dāng)m變化時，以線段PQ為直徑的圓被x軸截得的弦長為（　�。�

• A、4
• B、5
• C、6
• D、7

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程,圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：首先，根據(jù)已知條件，確定該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，然后，先利用特殊值，探究出弦長，然后，證明成立即可．

解答： 解：根據(jù)題意，m=-

3

3

時，M是橢圓C的上頂點，
∴M（0，b），F(xiàn)₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），
∴-

3

3

b+c=0．①
又∵且△MF₁F₂的周長為6．
∴2a+2c=0，②，
由①得 
b=

3

c，
由②得，
a=3-c，
∵a²-b²=c²，
∴c=1
∴a=2，b=

3

，
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：

x2

4

+

y2

3

=1，
當(dāng)m=0時，直線l的方程為x=1．此時，M，N點的坐標(biāo)分別是
（1，

3

2

），（1，-

3

2

），
∵又A點坐標(biāo)是（-2，0），由圖可以得到P，Q兩點坐標(biāo)分別是（4，3），（4，-3），
以PQ為直徑的圓過右焦點，被x軸截得的弦長為6，
猜測當(dāng)m變化時，以PQ為直徑的圓恒過焦點F₂，被x軸截得的弦長為定值6，
證明如下：
設(shè)點M，N點的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），
∴則直線AM的方程是

y

y1

=

x+2

x1+2

，
即得P（4，

6y1

x1+2

），
同理，得（4，

6y2

x2+2

），
聯(lián)立方程組

x2 4 + y2 3 =1 x=my+1

，整理，得
（3m²+4）y²+6my-9=0，
∴y₁+y₂=-

-6m

3m2+4

，y₁y₂=

-9

3m2+4

，
∴

F2P

•

F2Q

=（4-1）（4-1）+

36y1y2

(x1+2)(x2+2)

=9+

36Y1y2

(my1+3)(my2+3)

=9+

36y1

&

;y2m2y1&;y2+3m(y1+y2)+9
=9+

-9×36

-9m2-18m2+27m2+36

=0，
∴以PQ為直徑的圓恒過焦點F₂，被x軸截得的弦長為定值6，



故選：C．

點評：本題重點考查了橢圓的簡單幾何性質(zhì)、直線與橢圓的位置關(guān)系等知識，屬于重點題型，也是�？碱}型，復(fù)習(xí)時，要引起足夠的重視，注意處理該類問題的方法和技巧．