【題目】如圖，矩形所在的平面與正三角形所在的平面互相垂直，為的中點(diǎn)，連接.

（1）證明:平面平面；

（2）若直線與平面所成的角為，求二面角的余弦值.

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）連接，可得，由條件可證，可得平面，從而可證.
（2）取中點(diǎn),中點(diǎn)以為空間直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，以所在的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系, 直線與平面所成的角即為，故，運(yùn)用向量的方法求解.

（1）證明:連接

三角形為正三角形，為的中點(diǎn)，

平面平面，

平面平面

平面

平面

平面 .

，平面平面，

平面

平面

平面平面

（2）取中點(diǎn),中點(diǎn)以為空間直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，以所在的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖.

直線與平面所成的角即為，

故.

設(shè)，

則，

，，，

故，

設(shè)平面的法向量為，

則

即

即

令，則，

故.

平面的法向量為，

設(shè)所求二面角的大小為，

則

由，

故二面角的余弦值為:

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】已知橢圓與拋物線有共同的焦點(diǎn)，且離心率為，設(shè)分別是為橢圓的上下頂點(diǎn)

（1）求橢圓的方程；

（2）過(guò)點(diǎn)與軸不垂直的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，當(dāng)弦的中點(diǎn)落在四邊形內(nèi)（含邊界）時(shí)，求直線的斜率的取值范圍.

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（1）求證:；

（2）若，則當(dāng)三棱錐的體積取最大值時(shí)，求與平面所成角的正弦值.

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【題目】已知?jiǎng)訄AQ經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，且與定直線相切（其中a為常數(shù)，且）.記動(dòng)圓圓心Q的軌跡為曲線C.

（1）求C的方程，并說(shuō)明C是什么曲線？

（2）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，過(guò)點(diǎn)P作曲線C的切線，切點(diǎn)為A，若過(guò)點(diǎn)P的直線m與曲線C交于M，N兩點(diǎn)，則是否存在直線m，使得？若存在，求出直線m斜率的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

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【題目】如圖所示的多面體的底面為直角梯形，四邊形為矩形，且，，，，，，分別為，，的中點(diǎn)．

（1）求證：平面；

（2）求直線與平面所成角的余弦值．

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【題目】如圖，在四棱錐中，平面，點(diǎn)為中點(diǎn)，底面為梯形，，，.

（1）證明：平面；

（2）若四棱錐的體積為4，求點(diǎn)到平面的距離.

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（1）判斷，，的關(guān)系；

（2）若，設(shè)，記的前n項(xiàng)和為，證明：.

甲同學(xué)記得缺少的條件是首項(xiàng)a1的值，乙同學(xué)記得缺少的條件是公比q的值，并且他倆都記得第（1）問(wèn)的答案是，，成等差數(shù)列.如果甲、乙兩同學(xué)記得的答案是正確的，請(qǐng)你通過(guò)推理把條件補(bǔ)充完整并解答此題.

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頻率分布表

組別

分組

頻數(shù)

頻率

第1組

8

0.16

第2組

▆

第3組

20

0.40

第4組

▆

0.08

第5組

2

合計(jì)

▆

▆

（1）求的值；

（2）若在滿意度評(píng)分值為的人中隨機(jī)抽取2人進(jìn)行座談，求所抽取的2人中至少一人來(lái)自第5組的概率.

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