分析 (1)將等式兩邊加1,再由等比數(shù)列的定義,即可得證;
(2)運(yùn)用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式,可得an=√2n−1,即有bn=2nan+an+1=2n√2n−1+√2n+1−1=√2n+1−1-√2n−1,再由數(shù)列的求和方法:裂項(xiàng)相消求和,即可得到所求和,進(jìn)而得到所求
解答 解:(1)證明:an2=2an-12+1,可得an2+1=2(an-12+1),
即有{an2+1}是首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列;
(2)由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得an2+1=2n,
可得an=√2n−1,
即有bn=2nan+an+1=2n√2n−1+√2n+1−1
=(2n+1−1)−(2n−1)√2n−1+√2n+1−1=√2n+1−1-√2n−1,
則Sn=√22−1-√2−1+√23−1-√22−1+√24−1-√23−1+…+√2n+1−1-√2n−1
=√2n+1−1-1,
則Sn•(Sn+2)=(√2n+1−1-1)(√2n+1−1+1)=2n+1-2.
點(diǎn)評(píng) 本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式,注意運(yùn)用構(gòu)造法,考查數(shù)列的求和方法:裂項(xiàng)相消求和,考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力,屬于中檔題.
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