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3.已知正項(xiàng)數(shù)列{an}滿足a1=1,an2=2an-12+1;
(1)求證:{an2+1}是等比數(shù)列;
(2)令bn=2nan+an+1,且數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn,求Sn•(Sn+2)的值.

分析 (1)將等式兩邊加1,再由等比數(shù)列的定義,即可得證;
(2)運(yùn)用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式,可得an=2n1,即有bn=2nan+an+1=2n2n1+2n+11=2n+11-2n1,再由數(shù)列的求和方法:裂項(xiàng)相消求和,即可得到所求和,進(jìn)而得到所求

解答 解:(1)證明:an2=2an-12+1,可得an2+1=2(an-12+1),
即有{an2+1}是首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列;
(2)由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得an2+1=2n,
可得an=2n1,
即有bn=2nan+an+1=2n2n1+2n+11
=2n+112n12n1+2n+11=2n+11-2n1
則Sn=221-21+231-221+241-231+…+2n+11-2n1
=2n+11-1,
則Sn•(Sn+2)=(2n+11-1)(2n+11+1)=2n+1-2.

點(diǎn)評(píng) 本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式,注意運(yùn)用構(gòu)造法,考查數(shù)列的求和方法:裂項(xiàng)相消求和,考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力,屬于中檔題.

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9.①若向量\overrightarrow{a}\overrightarrow的夾角為θ,則cosθ=\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|}
②(\overrightarrow{a}+\overrightarrow)•\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}+\overrightarrow\overrightarrow{c};
③若向量\overrightarrow{AB}的起點(diǎn)為A(-2,4),終點(diǎn)為B(2,1),則\overrightarrow{BA}與x軸正方向所夾角的余弦值是\frac{4}{5};
④若向量\overrightarrow{a}=(m,4),且|\overrightarrow{a}|=\sqrt{23},則m=\sqrt{7}
其中不正確的序號(hào)有③④.

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(Ⅱ)當(dāng)a≤0時(shí),試求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅲ)若f(x)在(0,1)內(nèi)有極值,試求a的取值范圍.

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15.設(shè)函數(shù)f(x)=\frac{1}{2}x2-mlnx,g(x)=x2-(m+1)x.
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)當(dāng)m≥1時(shí),討論函數(shù)f(x)與g(x)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù).

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