Question

已知函數(shù)（為自然對數(shù)的底數(shù)）.
（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，若對任意的恒成立，求實(shí)數(shù)的值；
（Ⅲ）求證：.

Answer 1

（Ⅰ）時(shí)，單調(diào)遞增區(qū)間為；時(shí)，單調(diào)遞減區(qū)間為，
單調(diào)遞增區(qū)間為；（Ⅱ）；（Ⅲ）證明見解析

試題分析：（Ⅰ）利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)和分類討論得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）先由（Ⅰ）中時(shí)的單調(diào)性可知，即，構(gòu)造函數(shù)，由導(dǎo)函數(shù)分析可得在上增，在上遞減，則，由對任意的恒成立，故，得；（Ⅲ）先由（Ⅱ），即，從而問題等價(jià)轉(zhuǎn)化為證.
試題解析：（Ⅰ）                          1分
時(shí)，，在上單調(diào)遞增。                     2分
時(shí)，時(shí)，，單調(diào)遞減，
時(shí)，，單調(diào)遞增.            4分
（Ⅱ）由（Ⅰ），時(shí)，
                          5分
即，記 
 
在上增，在上遞減

故，得                        8分
（Ⅲ）由（Ⅱ），即，則時(shí)，
要證原不等式成立，只需證：，即證：
下證   ①                                     9分



①中令，各式相加，得

成立，                          
故原不等式成立.                                                 14分
方法二：時(shí)，
時(shí)，

時(shí)，