Question

在四棱錐中，其底面是正方形，一條側(cè)棱垂直于底面，不通過此棱的一個側(cè)面與底面所成的二面角為45°，且最長的側(cè)棱長為15cm，則棱錐的高為________．

Answer 1

5cm
分析：在四棱錐S-ABCD中，由SD⊥底面ABCD，ABCD是正方形，二面角S-BC-D是45°的二面角，知∠SCD=45°，設(shè)正方形ABCD的邊長是a，則SD=CD=a，BD=，由SD⊥BD，SB=15，知a²+2a²=225，由此能求出棱錐的高．
解答：解：如圖，SD⊥底面ABCD，ABCD是正方形，二面角S-BC-D是45°的二面角，
∵SD⊥面ABCD，BC⊥DC，
∴BC⊥面SDC，
∴SC⊥DC，
∴∠SCD是二面角S-BC-D的平面角，
∴∠SCD=45°，
設(shè)正方形ABCD的邊長是a，則SD=CD=a，BD=，
∵SD⊥BD，SB=15，
∴a²+2a²=225，解得a=5．
故棱錐的高為．
故答案為：．
點評：本題考查棱錐的高的求法，考查二面角的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時要認真審題，注意三垂線定理的性質(zhì)和應(yīng)用．