Question

已知集合A={x∈R|ax²-3x-4=0}，
（1）若A中有兩個(gè)元素，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）若A中至多有一個(gè)元素，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由A中有兩個(gè)元素，知關(guān)于x的方程ax²-3x-4=0有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，由此能求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．
（2）當(dāng)a=0時(shí)，方程為-3x-4=0，所以集合A={-

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}；當(dāng)a≠0時(shí)，若關(guān)于x的方程ax²-3x-4=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則A也只有一個(gè)元素，此時(shí)a=-

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；若關(guān)于x的方程ax²-3x-4=0沒(méi)有實(shí)數(shù)根，則A沒(méi)有元素，此時(shí)a＜-

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．由此能求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答：解：（1）∵A中有兩個(gè)元素，
∴關(guān)于x的方程ax²-3x-4=0有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，
∴△=9+16a＞0，且a≠0，即所求的范圍是{a|a＞-

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，且a≠0}；（6分）
（2）當(dāng)a=0時(shí)，方程為-3x-4=0，
∴集合A={-

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}；
當(dāng)a≠0時(shí)，若關(guān)于x的方程ax²-3x-4=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則A也只有一個(gè)元素，此時(shí)a=-

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；
若關(guān)于x的方程ax²-3x-4=0沒(méi)有實(shí)數(shù)根，則A沒(méi)有元素，此時(shí)a＜-

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，
綜合知此時(shí)所求的范圍是{a|a≤-

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，或a=0}．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查實(shí)數(shù)a的取值范圍的求法．解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，注意分類(lèi)討論思想的合理運(yùn)用．