3. 如圖所示，正四面體V—ABC的高VD的中點(diǎn)為O，VC的中點(diǎn)為M.

（1）求證：AO、BO、CO兩兩垂直；

（2）求〈,〉.

（1）證明略（2）45°


解析:

(1)  設(shè)=a,=b, =c,正四面體的棱長(zhǎng)為1,

則=(a+b+c),=(b+c-5a),

=(a+c-5b), =(a+b-5c)

∴·=（b+c-5a）·（a+c-5b）

=（18a·b-9|a|2）

=（18×1×1·cos60°-9）=0.

∴⊥，∴AO⊥BO，

同理⊥，BO⊥CO，

∴AO、BO、CO兩兩垂直.

（2）  =+=-（a+b+c）+

=(-2a-2b+c).

∴||==，

||==，

·=（-2a-2b+c）·（b+c-5a）=，

∴cos〈,〉==，

∵〈,〉∈(0,),∴〈, 〉=45°.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)已知正四面體的俯視圖如圖所示，其中四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2cm的正方形，則這個(gè)正四面體的主視圖的面積為
 
cm2．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2010•武漢模擬）如圖所示，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC的邊長(zhǎng)為2a，側(cè)棱AA1=2a，M、N分別為AA1、BC中點(diǎn)
（1）求四面體C1-MNB1體積；
（2）求直線MC1與平面MNB1所成角正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：013

如圖所示的正四面體V-ABC中VD為斜高, VH為錐高,其中有關(guān)距離中, 最小的距離是：

[    ]

A．AB與VC的距離　　　  B．V到A的距離

C．C到面VAB的距離　　　D．B到AC的距離

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：單元雙測(cè)　同步達(dá)標(biāo)活頁(yè)試卷　高二數(shù)學(xué)(下A) 人教版 題型：013

如圖所示，正四面體ABCD中，E、F分別為AD、BC的中點(diǎn)，則EF與CD所成角等于

[　　]

A．

B．

C．

D．

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