Question

已知函數f（x）=x²+

a

x

（x≠0，a∈R）
（1）當a為何值時，函數f（x）為偶函數；
（2）若f（x）在區(qū)間[2，+∞）是增函數，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由已知中函數f(x)=x2+

a

x

(x≠0，a∈R)，根據函數奇偶性的定義，可判斷出a=0時，f（x）=x²為偶函數；
（2）根據f（x）在區(qū)間[2，+∞）是增函數，結合函數單調性的定義，可得當x₂＞x₁≥2，f（x₁）-f（x₂）＜0，由此構造關于a的不等式，解不等式可得實數a的取值范圍．

解答：解：（1）當a=0時，f（x）=x²為偶函數；當a≠0時，f（x）既不是奇函數也不是偶函數．
（2）設x₂＞x₁≥2，f(x1)-f(x2)=

x

2 1

+

a

x1

-

x

2 2

-

a

x2

=

x1-x2

x1x2

[x1x2(x1+x2)-a]，
由x₂＞x₁≥2得x₁x₂（x₁+x₂）＞16，x₁-x₂＜0，x₁x₂＞0
要使f（x）在區(qū)間[2，+∞）是增函數只需f（x₁）-f（x₂）＜0，
即x₁x₂（x₁+x₂）-a＞0恒成立，則a≤16．
另解（導數法）：f′(x)=2x-

a

x2

，要使f（x）在區(qū)間[2，+∞）是增函數，只需當x≥2時，f'（x）≥0恒成立，即2x-

a

x2

≥0，則a≤2x³∈[16，+∞）恒成立，
故當a≤16時，f（x）在區(qū)間[2，+∞）是增函數．

點評：本題考查的知識點是函數奇偶性的性質，函數單調性的性質，熟練掌握函數奇偶性和單調性的定義，將已知轉化為關于參數a的方程（不等式）是解答本題的關鍵．