解:(Ⅰ)由已知有f′(x)=3x
2-2ax,
∵x=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/137.png)
是f(x)的一個(gè)極值點(diǎn)
∴
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/51266.png)
=0,解得a=4. …(2分)
于是f′(x)=3x
2-8x=x(3x-8),令f′(x)=0,得x=0或x=
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.
x | (-1,0) | 0 | (0, ) | ![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/137.png) | ( ,4) |
f′(x) | + | 0 | - | 0 | + |
f (x) | ↗ | 極大值 | ↘ | 極小值 | ↗ |
于是當(dāng)x=0時(shí),f(x)在(-1,4)上有極大值f(0)=4.…(7分)
(Ⅱ)要使f(x)在區(qū)間[1,2]內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)數(shù)x,使得f(x)<0,只需f(x)在[1,2]內(nèi)的最小值小于0.
∵f′(x)=3x
2-2ax=x(3x-2a),且由f′(x)=0,知x
1=0,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/51267.png)
,
①當(dāng)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/51268.png)
≤0即a≤0時(shí),f′(x)>0,∴f(x)在[1,2]上是增函數(shù),
由f(x)
min=f(1)=3-2a<0,解得
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/779.png)
.這與a<0矛盾,舍去.
②當(dāng)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/51269.png)
≤1即0<a≤
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/33.png)
時(shí),f′(x)>0,∴f(x)在[1,2]上是增函數(shù).
由f(x)
min=f(1)=3-2a<0,解得
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/779.png)
.這與0<a≤
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/33.png)
矛盾,舍去.
③當(dāng)1<
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/51268.png)
<2即
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/51270.png)
時(shí),
當(dāng)1≤
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/8484.png)
時(shí),f′(x)<0,∴f(x)在
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/51271.png)
上是減函數(shù),
當(dāng)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/51268.png)
≤x<2時(shí),f′(x)>0,∴f(x)在
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/51272.png)
上是增函數(shù).
∴
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/51273.png)
,解得a>3.這與
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/33.png)
<a<3矛盾,舍去.
④
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/51268.png)
≥2即a≥3時(shí),f′(x)<0,f(x)在[1,2]上是減函數(shù),
∴f(x)
min=f(2)=12-4a<0,解得a>3.結(jié)合a≥3得a>3.
綜上,a>3時(shí)滿足題意.…(12分)
分析:(Ⅰ)求導(dǎo)函數(shù)f′(x)=3x
2-2ax,根據(jù)x=
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是f(x)的一個(gè)極值點(diǎn)可得
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/51266.png)
=0,從而可求a的值,確定函數(shù)的單調(diào)性,進(jìn)而可求f(x)在(-1,4)上的極大值;
(Ⅱ)要使f(x)在區(qū)間[1,2]內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)數(shù)x,使得f(x)<0,只需f(x)在[1,2]內(nèi)的最小值小于0.利用f′(x)=3x
2-2ax=x(3x-2a),且由f′(x)=0,知x
1=0,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/51267.png)
,故進(jìn)行分類討論:①當(dāng)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/51268.png)
≤0即a≤0;②當(dāng)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/51269.png)
≤1即0<a≤
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/33.png)
;③當(dāng)1<
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/51268.png)
<2即
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/51270.png)
;④
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/51268.png)
≥2即a≥3,求出相應(yīng)的最小值,從而可求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
點(diǎn)評(píng):本題以函數(shù)為載體,考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用,考查函數(shù)的極值,考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力,解題的關(guān)鍵是將f(x)在區(qū)間[1,2]內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)數(shù)x,使得f(x)<0,轉(zhuǎn)化為f(x)在[1,2]內(nèi)的最小值小于0