Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和S_n=-a_n-（

1

2

）^n-1+2．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）令c_n=

n+1

n

a_n，T_n為數(shù)列{c_n}的前n項和，試比較T_n與

5n

2n+1

的大小．

Answer 1

分析：（1）由題意知a1=

1

2

．Sn-1=-an-1-(

1

2

)n-2+2，所以an=Sn-Sn-1=-an+an-1+(

1

2

)n-1．同眥可知2ⁿ•a_n=2^n-1a_n-1+1，b_n=2ⁿa_n，則b_n=1+（n-1）=n=2ⁿa_n，由此可知an=

n

2n

．
（2）由（1）得cn=

n+1

n

an=(n+1)(

1

2

)n，Tn=2×

1

2

+3× (

1

2

)2 +4×(

1

2

)3+…+(n+1)×(

1

2

)n，

1

2

Tn=2×(

1

2

)2+3×(

1

2

)3+4×(

1

2

)4+…+n(

1

2

)n+(n+1)(

1

2

)n+1，由錯位相減法知Tn=3-

n+3

2n

．由此入手可證出當(dāng)n=1，2時，T_n＜

5n

2n+1

．當(dāng)n≥3時，T_n≥

5n

2n+1

．

解答：解：（1）由題意知a₁=-a₁-1+2，∴a1=

1

2

．
當(dāng)n≥2時，Sn-1=-an-1-(

1

2

)n-2+2，
∴an=Sn-Sn-1=-an+an-1+(

1

2

)n-1．
∴2an=an-1+(

1

2

)n-1，即2ⁿ•a_n=2^n-1a_n-1+1，
設(shè)b_n=2ⁿa_n，則b_n-b_n-1=1，
∵b₁=2a₁=1，∴b_n=1+（n-1）=n=2ⁿa_n，
∴an=

n

2n

．
（2）由（1）得cn=

n+1

n

an=(n+1)(

1

2

)n，
∴Tn=2×

1

2

+3× (

1

2

)2 +4×(

1

2

)3+…+(n+1)×(

1

2

)n，①

1

2

Tn=2×(

1

2

)2+3×(

1

2

)3+4×(

1

2

)4+…+n(

1

2

)n+(n+1)(

1

2

)n+1②
①-②得

1

2

Tn=1+ (

1

2

)2 +(

1

2

)3+…+(

1

2

)n-(n+1)(

1

2

)n+1
=1+

1 4 [1-( 1 2 )n-1]

1- 1 2

-(n+1)(

1

2

)n+1
=

3

2

-

n+3

2n+1

，
∴Tn=3-

n+3

2n

．
T_n-

5n

2n+1

=

(n+3)(2n-2n-1)

2n(2n+1)

．
于是確定T_n與

5n

2n+1

的大小等價于比較2ⁿ與2n+1的大小，
由2＜2×1+1，2²＜2×2+1，2³＞2×3+1，2⁴＞2×4+1，
可猜想當(dāng)n≥3時，2ⁿ＞2n+1，證明如下．
（1）當(dāng)n=3時，2³＞2×3+1，猜想成立．
（2）假設(shè)當(dāng)n=k時，猜想成立，即2^k＞2k+1．
當(dāng) n=k+1時，2^k+1=2•2^k＞2（2k+1）=4k+2=2（k+1）+1+（2k-1）＞2（k+1）-1．
所以，當(dāng)n=k+1時，猜想也成立．
綜合（1）（2）可知，對一切n≥3的正整數(shù)，都有2ⁿ＞2n+1．
∴當(dāng)n=1，2時，T_n＜

5n

2n+1

．當(dāng)n≥3時，T_n≥

5n

2n+1

．

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的知識和不等式的證明，解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．