Question

在等比數(shù)列{a_n}中，a₂a₃=32，a₅=32．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，求S₁+2S₂+…+nS_n．

Answer 1

分析：（1）利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，由a₂a₃=32，a₅=32．建立方程組，解得a₁=2，q=2，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（2）由a₁=2，q=2，得Sn=

2(1-2n)

1-2

=2（2ⁿ-1），故S₁+2S₂+…+nS_n=2[（2+2•2²+…+n•2ⁿ）-（1+2+…+n）]，利用錯(cuò)位相減法能夠求出其結(jié)果．

解答：解：（1）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，依題意

a1q•a1q2=32 a1q4=32

，解得a₁=2，q=2，
∴an=2•2n-1=2n．
（2）∵a₁=2，q=2，
∴Sn=

2(1-2n)

1-2

=2（2ⁿ-1），
∴S₁+2S₂+…+nS_n=2[（2+2•2²+…+n•2ⁿ）-（1+2+…+n）]，
設(shè)Tn=2+2•22+…+n•2n，①
則2T_n=2²+2•2³+…+n•2ⁿ⁺¹，②
①-②，得-T_n=2+2²+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹=

2(1-2n)

1-2

-n•2n+1=（1-n）•2ⁿ⁺¹-2，
∴Tn=(n-1)•2n+1+2，
∴S₁+2S₂+…+nS_n=2[（n-1）•2ⁿ⁺¹+2]-n（n+1）=（n-1）•2ⁿ⁺²+4-n（n+1）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等比數(shù)列和等差數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意錯(cuò)位相減法的合理運(yùn)用．