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設雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)的右頂點為A，P是雙曲線上異于頂點的一個動點，從A引雙曲線的兩條漸近線的平行線與直線OP分別交于Q和R兩點．（如圖）
（1）證明：無論P點在什么位置，總有|
OP
|2=|
OQ
•
OR
|(O為坐標原點)；
（2）若以OP為邊長的正方形面積等于雙曲線實、虛軸圍成的矩形面積，求雙曲線離心率的取值范圍．
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（1）設OP的方程為 y=kx，AR的方程為 y=
b
a
(x-a)，
解得 
OR
=(
-ab
ak-b
，
-kab
ak-b
)，同理可得
OQ
=(
ab
ak+b
，
kab
ak+b
)．
∴|
OQ
•
OR
|=|
-ab
ak-b
ab
ak+b
+
-kab
ak-b
kab
ak+b
|=|
a2b2(1+k2)
|a2k2-b2|
．
設
OP
=(m，n)，則由雙曲線方程與OP方程聯(lián)立解得：
m2=
a2b2
b2-a2k2
，n2=
k2a2b2
b2-a2k2
，

∴
|
OP
|2=m2+n2=
a2b2
b2-a2k2
+
k2a2b2
b2-a2k2
=
a2b2(1+k2)
b2-a2k2
，
 
∵點P在雙曲線上，∴b2-a2k2＞0，無論點P在什么位置，總有  |
OP
|2=|
OQ
•
OR
|．
（2）由條件得：
a2b2(1+k2)
b2-a2k2
=4ab，即  k2=
4b2-ab
ab+4a2
＞0，
∴4b＞a，∴e=
c
a
=
a2+b2
a
＞
a2+(
a
4
)2
a
=
17
4
，即 e＞
17
4
．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

設雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1的一條漸近線與拋物線y=x2+1只有一個公共點，則雙曲線的離心率為（　�。�
A、
5
4
B、5
C、
5
2
D、
5

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科目：高中數學 來源： 題型：

設雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1的離心率e=
2
3
3
，過點A（0，-b）和B（a，0）的直線與原點的距離為
3
2
．
（1）求雙曲線方程；
（2）直線y=kx+5（k≠0）與雙曲線交于不同的兩點C、D，且C、D兩點都在以A為圓心的同一個圓上，求k值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設F1、F2是離心率為
5
的雙曲線
x2
a2
-
y 2
b2
=1(a＞0，b＞0)的左、右兩個焦點，若雙曲線右支上存在一點P，使(
OP
+
OF2
)•
F2P
=0（O為坐標原點）且|PF1|=λ|PF2|則λ的值為（　　）
A、2
B、
1
2
C、3
D、
1
3

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科目：高中數學 來源： 題型：

設雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)的虛軸長為2，焦距為2
5
，則雙曲線的漸近線方程為（　�。�

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科目：高中數學 來源： 題型：

設雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的虛軸長為2，焦距為2
3
，則雙曲線的漸近線方程為（　　）

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