Question

19．已知圓C的方程為x²+y²=4．
（1）求過點(diǎn)P（1，2）且與圓C相切的直線l的方程；
（2）直線l過點(diǎn)P（1，2），且與圓C交于A、B兩點(diǎn)，若|AB|=2$\sqrt{3}$，求直線l的方程；
（3）圓C上有一動(dòng)點(diǎn)M（x₀，y₀），$\overrightarrow{ON}$=（0，y₀），若向量$\overrightarrow{OQ}$=$\overrightarrow{OM}$+$\overrightarrow{ON}$，求動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程，并說明此軌跡是什么曲線．

Answer 1

分析 （1）顯然直線l的斜率存在，設(shè)切線方程為y-2=k（x-1），利用圓心到直線的距離等于半徑，即可求過點(diǎn)P（1，2）且與圓C相切的直線l的方程；
（2）分類討論：①當(dāng)直線l垂直于x軸時(shí)；②若直線l不垂直于x軸．對于②，設(shè)其方程為y-2=k（x-1），結(jié)合直線與圓的位置關(guān)系利用弦長公式即可求得k值，從而解決問題．
（3）設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x₀，y₀）（y₀≠0），Q點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算表示出M的坐標(biāo)，再利用M點(diǎn)在圓上其坐標(biāo)適合方程即可求得動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程，最后利用方程的形式進(jìn)行判斷是什么曲線即可．

解答 解：（1）顯然直線l的斜率存在，設(shè)切線方程為y-2=k（x-1），
則由$\frac{|2-k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=2，得k₁=0，k₂=-$\frac{4}{3}$，從而所求的切線方程為y=2和4x+3y-10=0．
（2）當(dāng)直線l垂直于x軸時(shí)，此時(shí)直線方程為x=1，l與圓的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（1，$\sqrt{3}$）和（1，-$\sqrt{3}$），這兩點(diǎn)的距離為2$\sqrt{3}$，滿足題意；當(dāng)直線l不垂直于x軸時(shí)，設(shè)其方程為y-2=k（x-1），
即kx-y-k+2=0，設(shè)圓心到此直線的距離為d（d＞0），則2$\sqrt{3}$=2$\sqrt{4-ouesxci^{2}}$，
得d=1，從而1=$\frac{|2-k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，得k=$\frac{3}{4}$，此時(shí)直線方程為3x-4y+5=0，
綜上所述，所求直線方程為3x-4y+5=0或x=1．
（3）設(shè)Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，y），M點(diǎn)坐標(biāo)是（x₀，y₀），$\overline{ON}$=（0，y₀），
∵$\overrightarrow{OQ}$=$\overrightarrow{OM}$+$\overrightarrow{ON}$，∴（x，y）=（x₀，2y₀）⇒x=x₀，y=2y₀．
∵x₀²+y₀²=4，∴x²+$\frac{{y}^{2}}{4}$=4，即$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{16}=1$．
∴Q點(diǎn)的軌跡方程是$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{16}=1$，軌跡是一個(gè)焦點(diǎn)在y軸上的橢圓．

點(diǎn)評 本小題主要考查直線的一般式方程、直線和圓的方程的應(yīng)用、軌跡方程的解法等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于中檔題．