(本小題滿分12分)
點
M在橢圓
上,以
M為圓心的圓與
x軸相切于橢圓的右焦點
F.
(I)若圓
M與
y軸相交于
A、
B兩點,且△
ABM是邊長為2的正三角形,求橢圓的方程;
(II)已知點
F(1,0),設(shè)過點
F的直線
l交橢圓于
C、
D兩點,若直線
l繞點
F任意轉(zhuǎn)動時,恒有
成立,求實數(shù)
的取值范圍.
(I)橢圓方程為
(II)
a的取值范圍是
解:(I)
ABM是邊長為2的正三角形,∴圓的半徑r=2,
∴M到y(tǒng)軸的距離
…………(2分)
又圓M與x軸相切,∴當
∴
…………(4分)
∴
∴
解得a=3或a=-1(舍去),則
故所求橢圓方程為
…………(6分)
(II)(方法1)①當直線l垂直于x軸時,把x=1代入,得
解得
(舍去),即
…………(8分)
②當l不垂直x軸時,設(shè)
,
直線AB的方程為
得
則
得
恒成立.
…………(10分)
,
由題意得,
恒成立.
當
不是恒成立的.
當
,恒成立.
當
恒成立,
,
解得
綜上,
a的取值范圍是
…………(12分)
(方法2)設(shè)
①當直線CD與x軸重合時,有
恒有
…………(8分)
②當直線C不與x軸重合時,設(shè)直線CD的方程為
整理得
恒為鈍角,
則
恒成立 …………(10分)
又
恒成立,
即
恒成立.當
時,
解得
綜上,
a的取值范圍是
…………(
12分)
練習冊系列答案
相關(guān)習題
科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
如圖,點
A、
B分別是橢圓
長軸的左、右端點,點
F是橢圓的右焦點,點
P在橢圓上,且位于
軸上方,
.
(1)求點
P的坐標;
(2)設(shè)
M是橢圓長軸
AB上的一點,
M到直線
AP的距離等于
,求橢圓上的點到點
M的距離
的最小值.
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
(本小題滿分12分)
已知橢圓
的左、右兩個焦點分別為F
1、F
2,離心率為
,且拋物線
與橢圓C
1有公共焦點F
2(1,0)。
(1)求橢圓和拋物線的方程;
(2)設(shè)A、B為橢圓上的兩個動點,
,過原點O作直線AB的垂線OD,垂足為D,求點D為軌跡方程。
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
已知橢圓
左、右焦點分別為F
1、F
2,點
,點F
2在線段PF
1的中垂線上.
(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)直線
與橢圓C交于M、N兩點,直線F
2M與F
2N的傾斜角分別為
,且
,求證:直線
過定點,并求該定點的坐標.
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:填空題
設(shè)
分別是橢圓
的左、右焦點,過
的直線
與
相交于
兩點,且
成等差數(shù)列,則
的長為
.
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:單選題
設(shè)點
是橢圓
上一動點,
是橢圓的兩個焦點,
的內(nèi)切圓半徑為
,則當點點
在
軸上方時,點
的縱坐標為( )
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
(本小題滿分12分)
設(shè)
分別為橢圓
(
)的左、右焦點,過
F2的
直線
l與橢圓
C相交于
A、
B兩點,直線
l的傾斜角為60
0,
F1到直線
l的
距離為
.
⑴求橢圓
C的焦距;
⑵如果
,求橢圓
C的方程.
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:填空題
若橢圓
的左、右焦點分別為
,線段
被拋物線
的焦點
分成5﹕3的兩段,則此橢圓的離心率為
.
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:填空題
、設(shè)P是橢圓
上的點,若F
1、F
2是橢圓的兩個焦點,則
等于
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