數(shù)列{an}滿足a1=2,an+1=(λ-3)an+2n,(n=1,2,3…)
(Ⅰ) 當a2=-1時,求λ及a3
(Ⅱ)是否存在實數(shù)λ,使得數(shù)列{an}為等差數(shù)列或等比數(shù)列?若存在,求出其通項公式,若不存在,說明理由.
分析:(Ⅰ)將a2=-1 代入an+1=(λ-3)an+2n,解關于的方程求出λ,繼而求出a3
(Ⅱ)先通過特殊方法,得到λ的可能值,再進一步結合等差數(shù)列,等比數(shù)列定義進行驗證.
解答:解:(Ⅰ)∵a1=2,a2=-1,a2=(λ-3)a1+2,(n=1,2,3…)∴λ=
3
2
,故a3=-
3
2
a2+22
,所以a3=
11
2

(Ⅱ)∵a1=2,an+1=(λ-3)an+2n,∴a2=(λ-3)a1+2=2λ-4,a3=(λ-3)a2+4=2λ2-10λ+16,
若數(shù)列{an}為等差數(shù)列,則a1+a3=2a2∴λ2-7λ+13=0∵△=49-4×13<0∴方程沒有實根,故不存在λ,使得數(shù)列{an}為等差數(shù)列.
若數(shù)列{an}為等比數(shù)列,則a1•a3=a22,即2(2λ2-10λ+16)=(2λ-4)2
解得:λ=4.∴an+1=an+2n
a2-a1=2
a3-a2=22
a4-a3=23
an-an-1=2n-1
將n-1個式子相加,an-a1=2+22+…+2n-1,∴an=2+
2(1-2n-1)
1-2
=2n
(n≥2,n∈N)
又n=1,a1=2符合條件,∴an=2n(n∈N*)∴
an+1
an
=
2n+1
2n
=2
,故數(shù)列{an}為等比數(shù)列.通項公式為an=2n
點評:本題給出的是數(shù)列an+1與an兩項之間的遞推形式.在第二問中,通過特殊方法,得到λ的值,要注意引導學生理解結果并非充要條件,而是必要不充分條件,所以需要進一步的驗證,而且在驗證過程中,使用了疊加法,可以為學生說明其結構形式和解題策略要讓學生掌握歸納的思想,學會從特殊到一般的思考數(shù)學問題的思維過程.
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nban-1an-1+n-1
(n≥2)
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,則a17等于
 

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1
an
,n=1,2,….

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lim
n→∞
an
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bn
A(bn+A)
;
(III)若|bn|≤
1
2n
對n=1,2,…
都成立,求a的取值范圍.

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12
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4
3
,an+1=an2-an+1(n∈N*),則m=
1
a1
+
1
a2
+…+
1
a2013
的整數(shù)部分是( 。

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