已知ABCD是直角梯形,∠DAB=∠ABC=,AB=BC=a,AD=2a.P是平面ABCD外一點(diǎn),PA⊥平面ABCD,且PA=a,求點(diǎn)A到平面PCD的距離.

答案:
解析:

  思路  求點(diǎn)A到平面PCD的距離,需過點(diǎn)A作平面PCD的垂線,但垂足的位置難以確定

  思路  求點(diǎn)A到平面PCD的距離,需過點(diǎn)A作平面PCD的垂線,但垂足的位置難以確定.因此,首先需要找到過A點(diǎn)而垂直于平面PCD的平面.憑直覺,這個(gè)垂面可能是PAC,但需要證明.

  解答  ∵∠ABC=

  AB=BC=a,∴AC=a.

  又AD=2a,故△ACD是直角三角形,即CD⊥AC.

  ∵PA⊥平面ABCD,∴CD⊥PA.

  ∴CD⊥平面PAC.∴平面PCD⊥平面PAC.

  過A作AE⊥PC,垂足為E(如圖所示)則AE⊥平面PCD,故線段AE的長(zhǎng)就是A點(diǎn)到平面PCD的距離.

  在Rt△PAC中,PA=a,AC=a,則PC=a,由面積關(guān)系,得AE=

  評(píng)析  本題還可以用體積法求點(diǎn)A到平面PCD的距離


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如圖,已知四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是直角梯長(zhǎng),AB∥CD,∠ABC=45°,DC=1,AB=2,PA⊥平面ABCD,PA=1.

(1)求證:BC⊥平面PAC;

(2)若M是PC的中點(diǎn),求三棱錐M-ACD的體積.

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如圖,已知四棱錐P—ABCD中,底面ABCD是直角梯長(zhǎng),AB//CD,∠ABC=45°,DC=1,AB=2,PA⊥平面ABCD,PA=1。

(1)求證:BC⊥平面PAC;

(2)若M是PC的中點(diǎn),求三棱錐M—ACD的體積。

 

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