已知數(shù)列an}的前n項和為sn,滿足(p-1)sn=p2-an,其中p為正常數(shù),且p≠1.
(1)求證:數(shù)列{an}為等比數(shù)列,并求出{an}的通項公式;
(2)若存在正整數(shù)M,使得當n≥M時,a1a4a7…a3n-2>a36恒成立,求出M的最小值;
(3)當p=2時,數(shù)列an,2xan+1,2yan+2成等差數(shù)列,其中x,y均為整數(shù),求出x,y的值.
分析:(1)當n≥2時,(p-1)sn-1=p2-an-1,可得數(shù)列{an}為等比數(shù)列,公比為
1
p
,可求所以a1=p,可得答案;
(2)由(1)可得(
1
p
)
n(3n-5)
2
(
1
p
)
34
,分0<p<1和p>1兩種情況來討論;
(3)當p=2時,因為數(shù)列an,2xan+1,2yan+2成等差數(shù)列,可得2x=1+2y-2,通過對y進行討論可得,當y=2時,2x=2,則x=1;當y>2和y<2時,均會產(chǎn)生矛盾,故而得解.
解答:解:(1)因為(p-1)sn=p2-an,所以當n≥2時,(p-1)sn-1=p2-an-1
兩式相減得(p-1)an=an-an-1,即pan=an-1,所以
an
an-1
=
1
p
,
所以數(shù)列{an}為等比數(shù)列,公比為
1
p
,
又當n=1時,(p-1)s1=p2-a1,即(p-1)a1=p2-a1,所以pa1=p2
因為p>0,所以a1=p,所以{an}的通項公式為:an=p(
1
p
)n-1=(
1
p
)n-2

(2)由(1)知:a1a4a7…a3n-2=(
1
p
)-1(
1
p
)2(
1
p
)5…(
1
p
)3n-4
=(
1
p
)-1+2+5+…+3n-4=(
1
p
)
n(3n-5)
2

a36=(
1
p
)34
,所以不等式a1a4a7…a3n-2>a36,即為(
1
p
)
n(3n-5)
2
>(
1
p
)34

p為正常數(shù),且p≠1,所以當0<p<1時,
1
p
>1
,所以
n(3n-5)
2
>34
,解得n<-4或n>
17
3
,
故存在最小值為6的M,使得a1a4a7…a3n-2>a36恒成立;
當p>1時,0<
1
p
<1,所以
n(3n-5)
2
<34
,解得-4<n<
17
3
,不合題意,
綜合可得:當當0<p<1時,所求M的最小值為6.
(3)當p=2時,an=(
1
2
)n-2
,因為數(shù)列an,2xan+1,2yan+2成等差數(shù)列,
所以2x(
1
2
)n-1=(
1
2
)n-2 +2y(
1
2
)n

化簡得2x=1+2y-2,顯然x>y-2,因為x,y均為整數(shù),
所以當y=2時,2x=2,則x=1,
當y>2時,2y-2為偶數(shù),則1+2y-2為奇數(shù),即2x為奇數(shù),這與2x為偶數(shù)矛盾,
當y<2時,2-y>0,x+2-y>0,由2x=1+2y-2得,2x+2-y=1+22-y,則22-y為偶數(shù),
1+22-y為奇數(shù),即2x+2-y為奇數(shù),這與2x+2-y為偶數(shù)矛盾,
綜合得:x=1,y=2.
點評:本題為等差、等比數(shù)列與不等式的綜合應用,涉及分類討論的思想,屬中檔題.
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22
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23
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12
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