Question

已知函數(shù)f（x）=

1

2

x²+alnx．
（1）若a=-1，求函數(shù)f（x）的極值，并指出極大值還是極小值；
（2）若a=1，求函數(shù)f（x）在[1，e]上的最值；
（3）若a=1，求證：在區(qū)間[1，+∞）上，函數(shù)f（x）的圖象在g（x）=

2

3

x³的圖象下方．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：計算題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）代入a=-1，從而化簡f（x）并求其定義域，再求導(dǎo)判斷函數(shù)的單調(diào)性及極值即可；
（2）代入a=1，從而化簡f（x）并求其定義域，再求導(dǎo)判斷函數(shù)的單調(diào)性及求函數(shù)的最值；
（3）代入a=1，令F（x）=g（x）-f（x）=

2

3

x³-

1

2

x²-lnx，從而化在區(qū)間[1，+∞）上，函數(shù)f（x）的圖象在g（x）=

2

3

x³的圖象下方為F（x）＞0在[1，+∞）上恒成立，再化為函數(shù)的最值問題即可．

解答： 解：（1）當(dāng)a=-1時，f（x）=

1

2

x²-lnx的定義域為（0，+∞），
f′（x）=x-

1

x

=

(x-1)(x+1)

x

；
故f（x）在（0，1）上是減函數(shù)，在（1，+∞）上是增函數(shù)，
故f（x）在x=1處取得極小值f（1）=

1

2

；
（2）當(dāng)a=1時，f（x）=

1

2

x²+lnx的定義域為（0，+∞），
f′（x）=x+

1

x

＞0；
故f（x）在[1，e]上是增函數(shù)，
故f_min（x）=f（1）=

1

2

，f_max（x）=f（e）=

1

2

e²+1；
（3）證明：令F（x）=g（x）-f（x）=

2

3

x³-

1

2

x²-lnx；
則F′（x）=2x²-x-

1

x

=

(x-1)(2x2+x+1)

x

，
∵x∈[1，+∞），
∴F′（x）=

(x-1)(2x2+x+1)

x

≥0，
∴F（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)，
故F（x）≥F（1）=

2

3

-

1

2

=

1

6

＞0；
故在區(qū)間[1，+∞）上，函數(shù)f（x）的圖象在g（x）=

2

3

x³的圖象下方．

點評：本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，同時考查了函數(shù)的圖象與函數(shù)的性質(zhì)的關(guān)系及恒成立問題，屬于中檔題．