已知函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于原點對稱，并且當x＞0時，f（x）=x2-2x+3，試求f（x）在R上的表達式，并畫出它的圖象，根據(jù)圖象寫出它的單調(diào)區(qū)間．
【答案】分析：確定函數(shù)為奇函數(shù)，設(shè)x＜0，則-x＞0，利用函數(shù)解析式，可得結(jié)論，從而可得函數(shù)的圖象，即可求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
解答：解：∵f（x）的圖象關(guān)于原點對稱，
∴f（x）是奇函數(shù)，∴f（-x）=-f（x）．
又f（x）在R上，∴f（0）=-f（0），解得f（0）=0．
設(shè)x＜0，則-x＞0，
∵當x＞0時，f（x）=x2-2x+3，
∴f（-x）=（-x）2-2（-x）-3=x2+2x+3=-f（x）
∴f（x）=-x2-2x-3 于是有
圖象如圖所示，
由圖象可知，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，-1），（1，+∞）；單調(diào)減區(qū)間為（-1，0），（0，1）．
點評：本題考查函數(shù)解析式的確定，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）的圖象有且僅有由五個點構(gòu)成，它們分別為（1，2），（2，3），（3，3），（4，2），（5，2），則f（f（f（5）））=
3
3
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•天門模擬）已知函數(shù)f（x）的圖象經(jīng)過點（1，λ），且對任意x∈R，都有f（x+1）=f（x）+2．數(shù)列{an}滿足a1=λ-2，2an+1=
2n，n為奇數(shù)
f(an)，n為偶數(shù)

（I）求f（n）（n∈N*）的表達式；
（II）設(shè)λ=3，求a1+a2+a3+…+a2n；
（III）若對任意n∈N*，總有anan+1＜an+1an+2，求實數(shù)λ的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于原點對稱，且當x＜0時，f（x）=2x-4，那么當x＞0時，f（x）=
2x+4
2x+4
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2011•焦作一模）已知函數(shù)f（x）的圖象過點（
π
4
，-
1
2
），它的導函數(shù)f′（x）=Acos（ωx+φ）（x∈R）的圖象的一部分如圖所示，其中A＞0，ω＞0，|φ|＜
π
2
，為了得到函
數(shù)f（x）的圖象，只要將函數(shù)y=sinx（x∈R）的圖象上所有的點（　�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=2對稱，且當x≠2時其導函數(shù)f′（x）滿足xf′（x）＞2f′（x），若2＜a＜4，則下列表示大小關(guān)系的式子正確的是（　�。�
A、f（2a）＜f（3）＜f（log2a）B、f(3)＜f(log2a)＜f(2a)C、f(log2a)＜f(3)＜f(2a)D、f(log2a)＜f(2a)＜f(3)

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