已知函數(shù)f(x)=alnx-2x�。╝為常數(shù)).
(1)當(dāng)a=1時,求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,+∞)上單調(diào)遞減,求實數(shù)a的取值范圍;
(3)若函數(shù)g(x)=f(x)+x2+1有極值點,求實數(shù)a的取值范圍.
解:(1)f(x)的定義域為(0,+∞),當(dāng)a=1時,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/67930.png)
由f′(x)>0得
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/12378.png)
,
由f′(x)<0,得
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/9871.png)
∴f(x)的單調(diào)增區(qū)間為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/3974.png)
,單調(diào)減區(qū)間為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/3008.png)
-------(4分)
(2)f(x)的定義域為(0,+∞)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/67931.png)
,即2x-a>0
∵函數(shù)在(1,+∞)上為單調(diào)減函數(shù),∴
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/67932.png)
∴a≤2-----(9分)
(3)由題意:g(x)=alnx-2x+x
2+1∴
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/67933.png)
,
若函數(shù)g(x)有極值點,∵x>0
∴2x
2-2x+a=0有兩解且在(0,+∞)至少有一解,----------(11分)
由△=4-8a>0得
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/7349.png)
------①----------(13分)
由2x
2-2x+a=0在(0,+∞)至少有一解,得a=-2x
2+2x在(0,+∞)至少有一解
設(shè)y
1=a,y
2=-2x
2+2x(x>0),則有兩圖象至少有一個交點,
解得
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/3879.png)
------②----------(15分)
由①②得
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/7349.png)
,
綜上:當(dāng)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/7349.png)
時函數(shù)g(x)有極值點----------(16分)
分析:(1)把a(bǔ)=1代入,先求定義域,在求導(dǎo)數(shù),令f′(x)>0,f′(x)<0,求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.
(2)先求導(dǎo)數(shù),由函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,+∞)上單調(diào)遞減,轉(zhuǎn)化成f'(x)≤0在(1,+∞)內(nèi)恒成立,利用參數(shù)分離法即可求出a的范圍.
(3)函數(shù)g(x)=f(x)+x
2+1有極值點,即函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于0至少一解(且導(dǎo)數(shù)在點的兩側(cè)符號不相同),求出a的范圍即可.
點評:本題考查了函數(shù)在某點取得極值的條件、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間,由f′(x)>0(<0)得函數(shù)的單調(diào)增(減)區(qū)間,而在解不等式f′(x)>0(<0)時,如果含有參數(shù)時,要注意對參數(shù)分類討論.