Question

1．設(shè)已知函數(shù)f（x）=|lnx|，正數(shù)a，b滿足a＜b，且f（a）=f（b），若f（x）在區(qū)間[a²，b]上的最大值為2，則2a+b=$\frac{2}{e}$+e．

Answer 1

分析 由題意可知0＜a＜1＜b，以及ab=1，再f（x）在區(qū)間[a²，b]上的最大值為2可得出f（a²）=2求出a，故可得2a+b的值．

解答 解：由對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)知
∵f（x）=|lnx|正實數(shù)a、b滿足a＜b，且f（a）=f（b），
∴0＜a＜1＜b，以及ab=1，
又函數(shù)在區(qū)間[a²，b]上的最大值為2，由于f（a）=f（b），f（a²）=2f（a）
故可得f（a²）=2，即|lna²|=2，即lna²=-2，即a²=$\frac{1}{{e}^{2}}$，可得a=$\frac{1}{e}$，b=e
則2a+b=$\frac{2}{e}$+e，
故答案為：$\frac{2}{e}$+e．

點評 本題考查對數(shù)函數(shù)的值域與最值，求解本題的關(guān)鍵是根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷出0＜a＜1＜b，以及ab=1及f（x）在區(qū)間[a²，b]上的最大值的位置．根據(jù)題設(shè)條件靈活判斷對解題很重要．