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7.已知圓M:(x+1)2+y2=1,圓N:(x-1)2+y2=9,動(dòng)圓P與圓M外切并與圓N內(nèi)切,圓心P的軌跡為曲線(xiàn)C.
(I)求C的方程.
(Ⅱ)若直線(xiàn)y=k(x-1)與曲線(xiàn)C交于R,S兩點(diǎn),問(wèn)是否在x軸上存在一點(diǎn)T,使得當(dāng)k變動(dòng)時(shí)總有∠OTS=∠OTR?若存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

分析 (Ⅰ)求出圓M和圓N的圓心及半徑,設(shè)圓P的圓心為P(x,y),半徑為R.由圓P與圓M外切并與圓N內(nèi)切,得到曲線(xiàn)C是以M,N為左右焦點(diǎn),長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為2,短半軸為3的橢圓(左頂點(diǎn)除外),由此能求出C的方程.
(Ⅱ)假設(shè)存在T(t,0)滿(mǎn)足∠OTS=∠OTR.聯(lián)立{y=kx13x2+4y212=0得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0,由此利用根的判別式、韋達(dá)定理,結(jié)合已知條件能求出存在T(4,0),使得當(dāng)k變化時(shí),總有∠OTS=∠OTR.

解答 解:(Ⅰ)圓M:(x+1)2+y2=1的圓心為M(-1,0),半徑r1=1,
圓N的圓心N(1,0),半徑r2=3.
設(shè)圓P的圓心為P(x,y),半徑為R.
∵圓P與圓M外切并與圓N內(nèi)切,
∴|PM|+|PN|=R+r1+r2-R=r1+r2=4.…(3分)
由橢圓的定義可知,曲線(xiàn)C是以M,N為左右焦點(diǎn),長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為2,短半軸為3的橢圓(左頂點(diǎn)除外),
∴C的方程為x24+y23=1x2.…(5分)
(Ⅱ)假設(shè)存在T(t,0)滿(mǎn)足∠OTS=∠OTR.設(shè)R(x1,y1),S(x2,y2
聯(lián)立{y=kx13x2+4y212=0得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0,
由韋達(dá)定理有{x1+x2=8k23+4k2x1x2=4k2123+4k2①,其中△>0恒成立,…(7分)
由∠OTS=∠OTR(由題意TS,TR的斜率存在),
故kTS+kTR=0,即y1x1t+y2x2t=0②,
由R,S兩點(diǎn)在直線(xiàn)y=k(x-1)上,故 y1=k(x1-1),y2=k(x2-1),
代入②得kx11x2t+kx21x1tx1tx2t=k[2x1x2t+1x1+x2+2t]x1tx2t=0,
即有2x1x2-(t+1)(x1+x2)+2t=0③…(9分)
將①代入③即有:8k224t+18k2+2t3+4k23+4k2=6t243+4k2=0④,
要使得④與k的取值無(wú)關(guān),當(dāng)且僅當(dāng)“t=4“時(shí)成立,
綜上所述存在T(4,0),使得當(dāng)k變化時(shí),總有∠OTS=∠OTR.…(12分)

點(diǎn)評(píng) 本題考查曲線(xiàn)方的求法,考查滿(mǎn)足條件的點(diǎn)是否存在的判斷與求法,是中檔題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意橢圓定義、根的判別式、韋達(dá)定理的合理運(yùn)用.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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