Question

設(shè)函數(shù)f（x）=cos²x-

3

sinxcosx+

1

2

（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及值域；
（Ⅱ）已知△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若f（B+C）=

3

2

，a=

3

，b+c=3，求△ABC的面積．

Answer 1

考點：正弦定理,三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,余弦定理

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),解三角形

分析：（Ⅰ）化簡可得f（x）=cos(2x+

π

3

)+1，從而可求最小正周期及值域；
（Ⅱ）由已知得cos(2A-

π

3

)=

1

2

，又A∈（0，π），得A=

π

3

，由余弦定理得a²=（b+c）²-3bc，又a=

3

，b+c=3，可解得bc=2，從而可求△ABC的面積．

解答： 解：（Ⅰ） f(x)=cos2x-

3

sinxcosx+

1

2

=cos(2x+

π

3

)+1，…（3分）
所以f（x）的最小正周期為T=π，…（4分）
∵x∈R∴-1≤cos(2x+

π

3

)≤1，故f（x）的值域為[0，2]，…（6分）
（Ⅱ）由f(B+C)=cos[2(B+C)+

π

3

]+1=

3

2

，得cos(2A-

π

3

)=

1

2

，又A∈（0，π），得A=

π

3

，…（9分）
在△ABC中，由余弦定理，得a2=b2+c2-2bccos

π

3

=（b+c）²-3bc，又a=

3

，b+c=3，所以3=9-3bc，解得bc=2，…（12分）
所以，△ABC的面積S=

1

2

bcsin

π

3

=

1

2

×2×

3

2

=

3

2

…（14分）

點評：本題主要考查了正弦定理、余弦定理、三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，屬于基本知識的考查．