Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，，，和都是等邊三角形.

（Ⅰ）證明：；

（Ⅱ）求二面角A-PD-C的大小.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）見解析（Ⅱ）

【解析】（Ⅰ）證明：取BC的中點(diǎn)E，連結(jié)DE，則ABED為正方形.

過P作PO⊥平面ABCD，垂足為O.

連結(jié)OA，OB,OD,OE.

由和都是等邊三角形知PA=PB=PD，

所以O(shè)A=OB=OD，即點(diǎn)O為正方形ABED對(duì)角線的交點(diǎn)，

故，

從而.           3分

因?yàn)镺是BD的中點(diǎn)，E是BC的中點(diǎn)，所以O(shè)E//CD.因此.  5分

（Ⅱ）解法一：

由（Ⅰ）知，，.

故平面PBD.

又平面PBD，所以.

取PD的中點(diǎn)F，PC的中點(diǎn)G，連結(jié)FG，

則FG//CD，F(xiàn)G//PD.

連結(jié)AF，由為等邊三角形可得AF⊥PD.

所以為二面角A-PD-C的平面角.         8分

連結(jié)AG，EG，則EG//PB.

又PB⊥AE，所以EG⊥AE.

設(shè)AB=2，則，，

故.

在中，，，，

所以.

因此二面角A-PD-C的大小為.      12分

解法二：

由（Ⅰ）知，OE,OB,OP兩兩垂直.

以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閤軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O-xyz.

設(shè)，則

，，，.

，.

，.

設(shè)平面PCD的法向量為，則

，

，

可得，.

取，得，故.      8分

設(shè)平面PAD的法向量為，則

，

，

可得.

取m=1，得，故.

于是.

由于等于二面角A-PD-C的平面角，

所以二面角A-PD-C的大小為.     12分

（1）解題的關(guān)鍵是輔助線的添加，取BC的中點(diǎn)E是入手點(diǎn)，然后借助三垂線定理進(jìn)行證明；（2）利用三垂線定理法或者空間向量法求解二面角. 求二面角：關(guān)鍵是作出或找出其平面角，常用做法是利用三垂線定理定角法，先找到一個(gè)半平面的垂線，然后過垂足作二面角棱的垂線，再連接第三邊，即可得到平面角。若考慮用向量來求：要求出二個(gè)面的法向量，然后轉(zhuǎn)化為,要注意兩個(gè)法向量的夾角與二面角可能相等也可能互補(bǔ)，要從圖上判斷一下二面角是銳二面角還是鈍二面角，然后根據(jù)余弦值確定相等或互補(bǔ)即可。

【考點(diǎn)定位】本題考查線線垂直的證明和二面角的求解，考查學(xué)生的空間想象能力和計(jì)算能力。