Question

【題目】已知函數(shù).

（Ⅰ）若，討論的單調(diào)性；

（Ⅱ）若函數(shù)的圖象上存在不同的兩點，使得直線的斜率成立，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）當時， 的減區(qū)間是，無增區(qū)間，當時， 的增區(qū)間是，減區(qū)間是，當時， 的增區(qū)間是，減區(qū)間是.

（Ⅱ）。

【解析】試題分析：（Ⅰ）先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再對參數(shù)進行分類討論，分別確定其單調(diào)性并求出其單調(diào)區(qū)間，（Ⅱ）先運用斜率公式將不等式等價轉(zhuǎn)化為，進而轉(zhuǎn)化為不等式恒成立，然后構(gòu)造函數(shù)，借助導(dǎo)數(shù)及其單調(diào)性建立不等式進行求解：

解：（Ⅰ） 的定義域為，當時，

，

（ⅰ）若，即時， 恒成立， 在上是減函數(shù)；

（ⅱ）若，即時， 時， 是增函數(shù)，

時， ， 是減函數(shù)，

時， ， 是減函數(shù)；

（ⅲ）若，即， 時， ， 是增函數(shù)，

時， ， 是減函數(shù)，

時， ， 是減函數(shù)；

綜上可得，當時， 的減區(qū)間是，無增區(qū)間，

當時， 的增區(qū)間是，減區(qū)間是，

當時， 的增區(qū)間是，減區(qū)間是.

（Ⅱ）假設(shè)的圖象上不存在兩點，使得直線的斜率成立，

則對的圖象上任意兩點，都有成立，

即恒成立，即恒成立，

因為，所以，

所以是減函數(shù)， 恒成立，

因為，所以恒成立，

因為，所以.

即若對的圖象上任意兩點，都有成立，則，

所以若的圖象上不存在兩點，使得直線的斜率成立，

則 ，即實數(shù)的取值范圍是.