Question

（一）已知a，b，c∈R⁺，
①求證：a²+b²+c²≥ab+bc+ac；
②若a+b+c=1，利用①的結論求ab+bc+ac的最大值．
（二）已知a，b，x，y∈R⁺，
①求證：．
②利用①的結論求的最小值．

Answer 1

證明：（一）①a²+b²≥2ab，c²+b²≥2bc，a²+c²≥2ac，…（3分）
三式相加可得a²+b²+c²≥ab+bc+ac
當且僅當a=b=c時等號成立 …（6分）
②1=（a+b+c）²=a²+b²+c²+2（ab+bc+ac）≥3（ab+bc+ac）…（9分）
則，當且僅當a=b=c時等號成立． …（12分）
（二）①要證，只要證，…（3分）
則，
當且僅當bx=ay時等號成立．故原不等式得證． …（6分）
②由①的結論知：，
當且僅當時，等號成立． …（12分）
分析：（一）①從不等式的左邊入手，左邊對應的代數(shù)式的二倍，分別寫成兩兩相加的形式，在三組相加的式子中分別用均值不等式，整理成最簡形式，得到右邊的2倍，兩邊同時除以2，得到結果．
②由①得1=（a+b+c）²=a²+b²+c²+2（ab+bc+ac）≥3（ab+bc+ac）從而求出ab+bc+ac的最大值；
（二）①利用分析法進行證明．要證，只要證左邊展開利用基本不等式證明即可；
②由①的結論知：，從而求出最大值．
點評：本題考查均值不等式的應用，考查不等式的證明方法，是一個基礎題，這種題目常常考慮分拆后利用基本不等式，因為題目分拆后才符合均值不等式的表現(xiàn)形式．