Question

如圖，已知圓O₁與圓O₂外切于點(diǎn)P，直線(xiàn)AB是兩圓的外公切線(xiàn)，分別與兩圓相切于A、B兩點(diǎn)，AC是圓O₁的直徑，過(guò)C作圓O₂的切線(xiàn)，切點(diǎn)為D．
（Ⅰ）求證：C，P，B三點(diǎn)共線(xiàn)；
（Ⅱ）求證：CD=CA．

Answer 1

分析：（I）連接PC，PA，PB，由于AC是圓O₁的直徑，可得∠APC=90°．作⊙O₁與⊙O₂的內(nèi)公切線(xiàn)MP交AB與點(diǎn)M．利用切線(xiàn)的性質(zhì)可得：∠BAP=∠MPA，∠MPB=∠MBP，再利用三角形的內(nèi)角和定理可得∠MPA+∠MPB=∠APB=90°，進(jìn)而證明上的共線(xiàn)．
（II）由切線(xiàn)的性質(zhì)可得∠CAB=90°，利用射影定理可得CA²=CP•CB．再利用切割線(xiàn)定理可得CD²=CP•CB，即可證明．

解答：解：（Ⅰ）連接PC，PA，PB，
∵AC是圓O₁的直徑，∴∠APC=90°，
作⊙O₁與⊙O₂的內(nèi)公切線(xiàn)MP交AB與點(diǎn)M．
又∵AB是兩圓的外公切線(xiàn)，A，B為切點(diǎn)，
∴∠BAP=∠MPA，∠MPB=∠MBP，
∵∠BAP+∠APB+∠ABP=180°，
∴∠MPA+∠MPB=∠APB=90°，
∴∠CPB=180°．
∴C，P，B三點(diǎn)共線(xiàn)．
（Ⅱ）∵CD切圓O₂于點(diǎn)D，∴CD²=CP•CB．
在△ABC中，∠CAB=90°，又∵AP⊥BC，∴CA²=CP•CB．
故CD=CA．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了外切兩圓的公切線(xiàn)的性質(zhì)、射影定理和切割線(xiàn)定理，考查了推理能力和夾角問(wèn)題的能力，屬于中檔題．