Question

10．已知函數(shù)F（x）=-ax+lnx+1（a∈R）．
（1）討論函數(shù)F（x）的單調(diào)性；
（2）定義在R上的偶函數(shù)f（x）在[0，+∞）上遞減，若不等式f（F（x））+f（ax-lnx-1）≥2f（1）對x∈[1，3]恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導數(shù)，通過討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（2）問題等價于2f（-ax+lnx+1）≥2f（1）對x∈[1，3]恒成立，分離參數(shù)，得到a≥$\frac{lnx}{x}$且a≤$\frac{2+lnx}{x}$對x∈[1，3]同時恒成立，設g（x）=$\frac{lnx}{x}$，h（x）=$\frac{2+lnx}{x}$，從而求出a的范圍即可．

解答 解：（1）F′（x）=$\frac{1-ax}{x}$（x＞0），
a≤0時，F(xiàn)′（x）＞0，得x∈（0，$\frac{1}{a}$），由F′（x）＜0，得：x∈（$\frac{1}{a}$，+∞），
故F（x）在（$\frac{1}{a}$，+∞）遞減，在（0，$\frac{1}{a}$）遞增；
（2）∵函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，且f（x）在[0，+∞）遞減，
∴f（x）在（-∞，0）遞增，
又ax-lnx-1=-（-ax+lnx+1），
∴f（-ax+lnx+1）+f（ax-lnx-1）≥2f（1）對x∈[1，3]恒成立，
等價于2f（-ax+lnx+1）≥2f（1）對x∈[1，3]恒成立，
則-1≤-ax+lnx+1≤1對x∈[1，3]恒成立，
即a≥$\frac{lnx}{x}$且a≤$\frac{2+lnx}{x}$對x∈[1，3]同時恒成立，
設g（x）=$\frac{lnx}{x}$，g′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，
則g（x）在[1，e]遞增，在（e，3]遞減，
∴g（x）_max=g（e）=$\frac{1}{e}$，
設h（x）=$\frac{2+lnx}{x}$，h′（x）=$\frac{-1-lnx}{{x}^{2}}$＜0，
則h（x）在[1，3]遞減，∴h（x）_min=h（3）=$\frac{2+ln3}{3}$，
綜上，a∈[$\frac{1}{e}$，$\frac{2+ln3}{3}$]．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導數(shù)的應用以及函數(shù)恒成立問題，是一道中檔題．