Question

數(shù)列1,1+2,1+2+2²,…,1+2+2²+…+2^n-1,…的前n項和S_n等于(    )

A.2ⁿ                         B.2ⁿ-n                C.2ⁿ⁺¹-n            D.2ⁿ⁺¹-n-2

Answer 1

思路解析:已知條件中給出了數(shù)列的通項公式,但形式比較復(fù)雜,容易看到其通項是由一個等比數(shù)列的前n項和所構(gòu)成,故可考慮先利用求和公式,將其化簡,然后再考慮求這個數(shù)列的前n項和,通過計算后可以發(fā)現(xiàn),要求數(shù)列的通項又可以視為一個等差數(shù)列的通項與一個等比數(shù)列的通項之和,故在求其和的過程中,可以將其視為兩部分,一部分是等差數(shù)列的前n項和,而另一部分是等比數(shù)列的前n項和,從而將問題解決.

由題意得,該數(shù)列的通項公式是a_n=1+2+2²+…+2^n-1==2ⁿ-1,

故S_n=(2¹-1)+(2²-1)+(2³-1)+…+(2ⁿ-1)=(2¹+2²+…+2ⁿ)-n=-n=2ⁿ⁺¹-n-2,

故選D.(注:可以考慮通過取特殊的n值檢驗)

答案:D