已知冪函數(shù),且在上單調(diào)遞增.

(1)求實(shí)數(shù)的值,并寫出相應(yīng)的函數(shù)的解析式;

(2)若在區(qū)間上不單調(diào),求實(shí)數(shù)的取值范圍;

(3)試判斷是否存在正數(shù),使函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013100923373289547023/SYS201310092338089009982558_ST.files/image011.png">若存在,求出的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

 

【答案】

(1) 或, (2)  (3)

【解析】

試題分析：(1)由題意知,解得:.   2分

又 ∴或,   3分

分別代入原函數(shù),得.   4分

(2)由已知得.   5分

要使函數(shù)不單調(diào)，則，則.   8分

(3)由已知,.    9分

法一:假設(shè)存在這樣的正數(shù)符合題意,

則函數(shù)的圖象是開口向下的拋物線,其對(duì)稱軸為,

因而,函數(shù)在上的最小值只能在或處取得,

又,

從而必有,解得.

此時(shí),,其對(duì)稱軸,

∴在上的最大值為,符合題意.

∴存在,使函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013100923373289547023/SYS201310092338089009982558_DA.files/image024.png">14分法二:假設(shè)存在這樣的正數(shù)符合題意,

由(1)知,

則函數(shù)的圖象是開口向下的拋物線,其對(duì)稱軸為,

考點(diǎn)：冪函數(shù)及二次函數(shù)單調(diào)性最值

點(diǎn)評(píng)：第二問(wèn)中二次函數(shù)不單調(diào)需滿足對(duì)稱軸在給定區(qū)間內(nèi)，第三問(wèn)關(guān)于最值的考查需注意對(duì)稱軸與給定區(qū)間的關(guān)系，從而確定給定區(qū)間上的單調(diào)性得到最值，一般求解時(shí)都要分情況討論

 

練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知冪函數(shù)f（x）=xa和對(duì)數(shù)函數(shù)g（x）=logax，其中a為不等于1的正數(shù)
（1）若冪函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)（27，3），求常數(shù)a的值，并說(shuō)明冪函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）若0＜a＜1，且函數(shù)y=g（x+3）在區(qū)間[-2，-1]上總有|y|≤2，求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)已知冪函數(shù)g(x)=x-m2+2m+3(m∈Z)為偶函數(shù)，且在區(qū)間（0，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)，又f（x）=sinx+mcosx，F(xiàn)（x）=f′（x）[f（x）+f′（x）]-1，f′（x）是f（x）的導(dǎo)函數(shù)．
（I）若tanx=
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，求F（x）的值；
（Ⅱ）把F（x）圖象的橫坐標(biāo)縮小為原來(lái)的一半后得到H（x），求H（x）的單調(diào)減區(qū)間．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知冪函數(shù)f(x)=x（m∈Z）為偶函數(shù)，且在區(qū)間（0，+∞）上是單調(diào)減函數(shù).

（1）求函數(shù)f(x);

（2）討論F（x）=a的奇偶性.

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已知函數(shù)已知冪函數(shù)為偶函數(shù)，且在區(qū)間（0，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)，又f（x）=sinx+mcosx，F(xiàn)（x）=f′（x）[f（x）+f′（x）]-1，f′（x）是f（x）的導(dǎo)函數(shù)．
（I）若，求F（x）的值；
（Ⅱ）把F（x）圖象的橫坐標(biāo)縮小為原來(lái)的一半后得到H（x），求H（x）的單調(diào)減區(qū)間．

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已知冪函數(shù)為偶函數(shù)，且在區(qū)間上是單調(diào)減函數(shù)（Ⅰ）求函數(shù)；（Ⅱ）討論的奇偶性.

 

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