Question

5．下表所示為X，Y，Z三種食物的維生素含量及成本，某食品廠欲將三種食物混合，制成至少含44000單位維生素A及48000單位維生素B的混合物100千克，所用的食物X，Y，Z的質(zhì)量分別為x，y，z（千克），混合物的成本最少為960元．

	X	Y	Z
維生素A（單位/千克）	400	600	400
維生素B（單位/千克）	800	200	400
成本（元/千克）	12	10	8

Answer 1

分析 根據(jù)題意得出z=100-x-y，再利用甲、乙、丙三種食物的成本，寫(xiě)出混合食物的成本函數(shù)P；根據(jù)混合食物至少需含44000單位維生素A及48000單位維生素B，建立不等式組，求出最優(yōu)解，計(jì)算最小值．

解答 解：某食物營(yíng)養(yǎng)所想用x千克甲種食物，y千克乙種食物，z千克丙種食物配成100千克混合物，
則z=100-x-y，
∴P=12x+10y+8z=12x+10y+8（100-x-y）=4x+2y+800（元）；
由題意可得：$\left\{\begin{array}{l}{400x+600y+400（100-x-y）≥44000}\\{800x+200y+400（100-x-y）≥48000}\\{0≤x≤100}\\{0≤y≤100}\end{array}\right.$，
化簡(jiǎn)得$\left\{\begin{array}{l}{2x-y≥40}\\{20≤y≤100}\\{0≤x≤100}\end{array}\right.$，
畫(huà)出此不等式組表示的平面區(qū)域，如圖陰影部分所示；
由$\left\{\begin{array}{l}{2x-y=40}\\{y=20}\end{array}\right.$解得點(diǎn)A（30，20）；
當(dāng)直線P=4x+2y+800過(guò)點(diǎn)A時(shí)，
函數(shù)P=4×30+2×20+800=960，取得最小值，
即x=30，y=20，z=50時(shí)，此時(shí)混合物的成本最少，為960元．
故答案為：960．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了線性規(guī)劃的應(yīng)用問(wèn)題，解題關(guān)鍵是根據(jù)已知得出不等式關(guān)系式，再確定出最低成本．