Question

已知函數(shù)f（x）=x³+x（x∈R）．
（1）指出f（x）的奇偶性及單調(diào)性，并說明理由；
（2）若a、b、c∈R，且a+b＞0，b+c＞0，c+a＞0，試判斷f（a）+f（b）+f（c）的符號．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意求出f（-x），并判斷f（-x）與f（x）的關系，由函數(shù)奇偶性的定義得到函數(shù)的奇偶性，求出函數(shù)的導數(shù)，并判斷符號，進而得到函數(shù)的單調(diào)性；
（2）由a+b＞0，得a＞-b，再由（1）中函數(shù)的增函數(shù)，得f（a）＞f（-b），又由（1）中函數(shù)為奇函數(shù)可得：f（-b）=-f（b），即f（a）＞-f（b），于是f（a）+f（b）＞0，同時求出f（b）+f（c）＞0，f（c）+f（a）＞0．利用不等式的性質(zhì)即可得到答案．

解答：解：（1）∵函數(shù)f（x）=x³+x的定義域為R，關于原點對稱，
又∵f（-x）=（-x）³+（-x）=-（x³+x）=-f（x）
∴f（x）為奇函數(shù)，
∵f′（x）=3x²+1＞0，∴f（x）在R上是增函數(shù)，
（2）由（1）得，
由a+b＞0得a＞-b，則f（a）＞f（-b）=-f（b），即f（a）+f（b）＞0．
同理，f（b）+f（c）＞0，f（c）+f（a）＞0．
故f（a）+f（b）+f（b）+f（c）+f（c）+f（a）＞0，
即有f（a）+f（b）+f（c）＞0．

點評：本題考查的知識點是函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的綜合，其中熟練掌握函數(shù)單調(diào)性與奇偶性的定義及性質(zhì)是解答本題的關鍵．