Question

已知定義域為R的函數(shù)f(x)滿足f(f(x)-x²+y_=f(x)-x²+x.

（Ⅰ）若f(2)-3,求f(1);又若f(0)=a,求f(a);

（Ⅱ）設(shè)有且僅有一個實數(shù)x₀,使得f(x_0­)= x_0,求函數(shù)f(x)的解析表達式.

Answer 1

解：（Ⅰ）因為對任意xεR，有f(f(x)- x² + x)=f(x)- x² +x，所以

f(f(2)- 2²+2)=f(2)- 2²+2.

又由f(2)=3，得f(3-2²+2)-3-2²+2，即f(1)=1.

若f(0)=a，則f(a-0²+0)=a-0²+0，即f(a)=a.

（Ⅱ）因為對任意xεR，有f(f(x))- x² +x)=f(x)- x² +x.

又因為有且只有一個實數(shù)x₀,使得f(x₀)- x_0.

所以對任意xεR，有f(x)- x² +x= x_0.

在上式中令x= x₀,有f(x₀)-x + x₀₌ x_0,

又因為f(x₀)- x₀，所以x_0- x=0，故x₀₌0或x₀=1.

若x₀=0，則f(x)- x² +x=0，即

f(x)= x² -x.

但方程x² -x=x有兩上不同實根，與題設(shè)條件矛質(zhì)，故x₂≠0.

若x₂=1,則有f(x)- x² +x=1，即f(x)= x² -x+1.易驗證該函數(shù)滿足題設(shè)條件.

綜上，所求函數(shù)為

f(x)= x² -x+1（xR）.