Question

已知函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx+d （a、b、c∈R），且函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，其圖象x=3處的切線方程為8x-y-18=0．
（1）求f（x）的解析式；
（2）是否存在區(qū)間[a，b]，使得函數(shù)f（x）的定義域和值域為[a，b]？若存在，求出這樣的一個區(qū)間[a，b]；若不存在，則說明理由；
（3）若數(shù)列{a_n}滿足：a₁≥1，a_n+1≥f′（a_n+1），試比較

1

1+a1

+

1

1+a2

+

1

1+a3

+…+

1

1+an

與1的大小關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,函數(shù)解析式的求解及常用方法,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：計算題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（1）由f （x）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，得到b=d=0，再由題意得到f'（3）=8，且f （3）=6，得到方程，解出a，c即可；
（2）假設(shè)存在區(qū)間[a，b]，使得函數(shù)f（x）的定義域和值域為[a，b]，由

y= 1 3 x3-x y=x

解得x=0或x=±

6

．討論f（x）在當(dāng)x∈[-

6

，-1)或x∈(1，

6

]時，f'（x）＞0；當(dāng)x∈（-1，1）時，f'（x）＜0．
得到極值，即可確定；
（3）由（2）推測a_n≥2ⁿ-1．再用數(shù)學(xué)歸納法證明，再取倒數(shù)，累加運(yùn)用放縮法即可判斷．

解答： 解：（1）∵f （x）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，∴f （-x）+f （x）=0恒成立，
即2bx²+2d≡0，∴b=d=0．
又f （x）的圖象在x=3處的切線方程為8x-y-18=0，即y-6=8（x-3），
∴f'（3）=8，且f （3）=6．
而f （x）=ax³+cx，∴f'（x）=3ax²+c．

f′(3)=27a+c=8 f(3)=27a+3c=6

解得

a= 1 3 c=-1.

，
故所求的解析式為f （x）=

1

3

x3-x．
（2）由

y= 1 3 x3-x y=x

解得x=0或x=±

6

．
又由f'（x）=0，得x=±1，
且當(dāng)x∈[-

6

，-1)或x∈(1，

6

]時，f'（x）＞0；
當(dāng)x∈（-1，1）時，f'（x）＜0．
所以，函數(shù)f （x）在[-

6

，-1]和[1，

6

]上分別遞增；在[-1，1]上遞減．
于是，函數(shù)f （x）在[-

6

，

6

]上的極大值和極小值分別為f （-1）=

2

3

，f （1）=-

2

3

．
而-

6

＜-

2

3

＜

2

3

＜

6

，
故存在這樣的區(qū)間[a，b]，其中滿足條件的一個區(qū)間為[-

6

，

6

]．
（3）由（2）知f'（x）=x²-1，所以，有a_n+1≥（a_n+1）²-1．
而函數(shù)y=（x+1）²-1=x²+2x在[1，+∞）上單調(diào)遞增，
所以，由a₁≥1，可知a₂≥（a₁+1）²-1≥2²-1；
進(jìn)而可得a₃≥（a₂+1）²-1≥2³-1；…
由此猜想a_n≥2ⁿ-1．
下列用數(shù)學(xué)歸納法給出證明：
①當(dāng)n=1時，a₁≥1=2¹-1，結(jié)論成立．
②假設(shè)n=k時有a_k≥2^k-1，
則當(dāng)n=k+1時，由于函數(shù)f （x）=x²+2x在[1，+∞）上遞增，可知，
a_k+1≥（a_k+1）²-1≥（2^k-1+1）²-1=2^2k-1≥2^k+1-1，
即n=k+1時，結(jié)論也成立．
所以，對任意的n∈N^*都有a_n≥2ⁿ-1，即1+a_n≥2ⁿ，

1

1+an

＜

1

2n

從而

1

1+a1

+

1

1+a2

+

1

1+a3

+…+

1

1+an

≤

1

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

=

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

=1-(

1

2

)n＜1，
故

1

1+a1

+

1

1+a2

+

1

1+a3

+…+

1

1+an

＜1．

點(diǎn)評：本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用：求切線方程和求單調(diào)區(qū)間，和極值、最值，考查數(shù)列的通項和運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明，屬于有一定難度的題．