【題目】如圖,四棱錐的底面是平行四邊形,側(cè)面是邊長為2的正三角形, , .

(Ⅰ)求證:平面平面;

(Ⅱ)設(shè)是棱上的點,當平面時,求二面角的余弦值.

【答案】(Ⅰ)見解析; (Ⅱ).

【解析】試題分析:(Ⅰ)要證平面平面,只需證平面即可.

(Ⅱ)分別以、所在直線為軸、軸、軸建立空間直角坐標系如圖,求平面的一個法向量和平面的一個法向量求解即可.

試題解析:

(Ⅰ)取的中點,連接 ,

因為是邊長為2的正三角形,所以 ,①

,所以,且,

于是,從而,②

由①②得平面,而平面,所以平面平面.

(Ⅱ)連結(jié),設(shè),則的中點,連結(jié),當平面時, ,所以的中點.

由(Ⅰ)知, 、、兩兩垂直,分別以、、所在直線為軸、軸、軸建立空間直角坐標系如圖,則、,

、坐標得,從而, ,

設(shè)是平面的一個法向量,則由,

,得,易知平面的一個法向量是

所以 ,

由圖可知,二面角的平面角為鈍角,故所求余弦值為.

練習冊系列答案
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質(zhì)量指標值

等級

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