【題目】已知函數(shù)f(x)=lg(2+x)+lg(2﹣x).
(1)求函數(shù)f(x)的定義域并判斷函數(shù)f(x)的奇偶性;
(2)記函數(shù)g(x)= +3x,求函數(shù)g(x)的值域;
(3)若不等式 f(x)>m有解,求實數(shù)m的取值范圍.
【答案】(1)見解析;(2)函數(shù)g(x)的值域是(﹣6, ];(3)實數(shù)m的取值范圍為{m|m<lg4}.
【解析】試題分析:(1)利用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)能求出函數(shù)f(x)=lg(2+x)+lg(2﹣x)的定義域;推導(dǎo)出f(﹣x)=lg(2﹣x)+lg(2+x)=f(x),由此得到f(x)是偶函數(shù). (2)由﹣2<x<2,得f(x)=lg(4﹣x2),從而函數(shù)g(x)=﹣x2+3x+4,由此能求出函數(shù)g(x)的值域.(3)由不等式f(x)>m有解,得到m<f(x)max,由此能求出實數(shù)m的取值范圍.
試題解析:
(1)∵函數(shù)f(x)=lg(2+x)+lg(2﹣x),
∴,解得﹣2<x<2.
∴函數(shù)f(x)的定義域為(﹣2,2).
∵f(﹣x)=lg(2﹣x)+lg(2+x)=f(x),
∴f(x)是偶函數(shù).
(2)∵﹣2<x<2,
∴f(x)=lg(2+x)+lg(2﹣x)=lg(4﹣x2).
∵g(x)=10f(x)+3x,
∴函數(shù)g(x)=﹣x2+3x+4=﹣(x﹣)2+,(﹣2<x<2),
∴g(x)max=g()=,g(x)min→g(﹣2)=﹣6,
∴函數(shù)g(x)的值域是(﹣6,].
(3)∵不等式f(x)>m有解,∴m<f(x)max,
令t=4﹣x2,由于﹣2<x<2,∴0<t≤4
∴f(x)的最大值為lg4.
∴實數(shù)m的取值范圍為{m|m<lg4}.
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【題目】在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若c-b=2bcosA.
(1)求證:A=2B;
(2)若cosB=,c=5,求△ABC的面積.
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【題目】(12分)已知函數(shù) .
(1)若x=2是函數(shù)f(x)的極值點,求曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程;
(2)若函數(shù)f(x)在 上為單調(diào)增函數(shù),求a的取值范圍;
(3)設(shè)m,n為正實數(shù),且m>n,求證: .
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【題目】已知函數(shù)f(x)= ,對任意的m∈[﹣2,2],f(mx﹣2)+f(x)<0恒成立,則x的取值范圍為_____.
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知中心在原點,焦點在x軸上的雙曲線C的離心率為 ,且雙曲線C與斜率為2的直線l有一個公共點P(﹣2,0).
(1)求雙曲線C的方程及它的漸近線方程;
(2)求以直線l與坐標(biāo)軸的交點為焦點的拋物線的標(biāo)準方程.
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【題目】已知橢圓 + =1(a>b>0)的右焦點為F2(1,0),點H(2, )在橢圓上.
(1)求橢圓的方程;
(2)點M在圓x2+y2=b2上,且M在第一象限,過M作圓x2+y2=b2的切線交橢圓于P,Q兩點,問:△PF2Q的周長是否為定值?如果是,求出定值;如果不是,說明理由.
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【題目】已知函數(shù),
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若函數(shù)有兩個零點,(),求證: .
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