Question

9．已知x，y滿(mǎn)足約束條件$\left\{\begin{array}{l}{x-3≤0}\\{x+y≥0}\\{x-y≥0}\end{array}\right.$，則z=x²+y²+2y+1的最小值為$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 根據(jù)約束條件畫(huà)出可行域，利用幾何意義求最值，z=x²+y²+2y+1=（y+1）²+x²表示點(diǎn)（0，-1）到可行域的點(diǎn)的距離的平方，由此求出z的最小值．

解答 解：畫(huà)出約束條件$\left\{\begin{array}{l}{x-3≤0}\\{x+y≥0}\\{x-y≥0}\end{array}\right.$表示的平面區(qū)域如圖所示，
則z=x²+y²+2y+1=x²+（y+1）²，
表示可行域內(nèi)的點(diǎn)到點(diǎn)C（0，-1）距離的平方，
當(dāng)取點(diǎn)C到直線(xiàn)x+y=0的距離時(shí)，z最小，
此時(shí)z的最小值為d²=${（\frac{|0-1|}{\sqrt{2}}）}^{2}$=$\frac{1}{2}$．
故答案為：$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了簡(jiǎn)單的線(xiàn)性規(guī)劃，以及利用幾何意義求最值問(wèn)題，是基礎(chǔ)題．