Question

已知函數(shù)f（x）=alnx+1（a＞0）．
（1）當(dāng)a=1且x＞1時，證明：f（x）＞3-

4

x+1

；
（2）若對?x∈（1，e），f（x）＞x恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）當(dāng)a=

1

2

時，證明：

n+1

i=2

f（i）＞2（n+1-

n+1

）．

Answer 1

考點：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）當(dāng)a=1且x＞1時，構(gòu)造函數(shù)m（x）=lnx+

4

x+1

-2，利用函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系即可證明：f（x）＞3-

4

x+1

；
（2）根據(jù)函數(shù)最值和函數(shù)導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系將不等式恒成立問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性的性質(zhì)，利用放縮法即可證明不等式．

解答： （1）證明：要證f（x）＞3-

4

x+1

，即證lnx+

4

x+1

-2＞0，
令m（x）=lnx+

4

x+1

-2，
則m'（x）=

1

x

-

4

(x+1)2

=

(x-1)2

x(x+1)2

＞0，
∴m（x）在（1，+∞）單調(diào)遞增，m（x）＞m（1）=0，
∴l(xiāng)nx+

4

x+1

-2＞0，
即f（x）＞3-

4

x+1

成立．
（2）解法一：由f（x）＞x且x∈（1，e），可得a＞

x-1

lnx

，
令h（x）=

x-1

lnx

，則h'（x）=

lnx-1+ 1 x

(lnx)2

，
由（1）知lnx-1+

1

x

＞1+

1

x

-

4

x+1

=

(x-1)2

x(x+1)2

＞0，
∴h'（x）＞0函數(shù)，h（x）在（1，e）單調(diào)遞增，當(dāng)x∈（1，e）時，h（x）＜h（e）=e-1，
即a≥e-1．
解法二：令h（x）=alnx+1-x，則h'（x）=

a

x

-1=

a-x

x

，
當(dāng)a＞e時，h'（x）＞0，函數(shù)h（x）在（1，e）上是增函數(shù)，有h（x）＞h（1）=0，
當(dāng)1＜a≤e時，∵函數(shù)h（x）在（1，a）上遞增，在（a，e）上遞減，
對?x∈（1，e），f（x）＞x恒成立，只需h（e）≥0，即a≥e-1．---------------（7分）
當(dāng)a≤1時，函數(shù)h（x）在（1，e）上遞減，對?x∈（1，e），f（x）＞x恒成立，只需h（e）≥0，
而h（e）=a+1-e＜0，不合題意，-----------------------------------------------------------（8分）
綜上得對?x∈（1，e），f（x）＞x恒成立，a≥e-1．------------------------（9分）】
【解法三：由f（x）＞x且x∈（1，e）可得

1

a

＜

ln?x

x-1

由于

lnx

x-1

表示兩點A（x，lnx），B（1，0）的連線斜率，
由圖象可知y=

lnx

x-1

在（1，e）單調(diào)遞減，
故當(dāng)x∈（1，e）時，

lnx

x-1

＞

lne

e-1

=

1

e-1

，
∴0＜

1

a

≤

1

e-1

，
即a≥e-1．
（3）當(dāng)a=

1

2

時，f（x）=

1

2

lnx+1，則

n+1

i=2

f（i）=

1

2

ln（n+1）!+n，
要證

n+1

i=2

f（i）＞2（n+1-

n+1

），即證

n+1

i=2

lni＞2n+4-4

n+1

，
由（1）可知ln（n+1）＞2-

4

n+2

，
又n+2=（n+1）+1＞2

n+1

＞

n+1

+

n

，
∴

4

n+2

＜

4

n+1 + n

，
∴l(xiāng)n（n+1）＞2-

4

n+1 + n

=2-4(

n+1

-

n

)，
∴l(xiāng)n2+ln3+…+ln（n+1）＞2n-4[(

2

-1)+

3

-

2

+…+

n+1

-

n

]=2n+4-4

n+1

，
故

n+1

i=2

f（i）＞2（n+1-

n+1

）．得證．

點評：本題主要考查函數(shù)單調(diào)性，最值與函數(shù)導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系以及不等式的證明，綜合性較強(qiáng)，難度較大．