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【題目】對于函數，若存在，使成立， 則稱點為函數的不動點.

（1）若函數有不動點和， 求的值 ；

（2）若對于任意實數，函數總有 2 個相異的不動點 ， 求實數的取值范圍；

（3）若定義在實數集 R 上的奇函數存在（有限的）個不動點 ， 求證：必為奇數.

【答案】(1) (2) (3)見解析

【解析】

（1）由不動點定義有， 即. ①

將代入式①得.

將代入式①得.解得.

（2）由條件知， 對任意實數， 方程 ①總有兩個相異的實數根， 所以， 恒成立，即對任何實數，恒成立.

從而， ， 即.解得.

（3）顯然點是奇函數在 R 上的一個不動點.若有異于的不動點， 則.

又，

則也是在 R 上的一個不動點.

所以， 的有限個不動點除原點外 ， 都是成對出現(xiàn)的， 有 個.則 在 R上共有個不動點.因此，為奇數.

練習冊系列答案
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【題目】已知某單位有甲、乙、丙三個部門，從員工中抽取7人，進行睡眠時間的調查．若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，現(xiàn)從這7人中隨機抽取3人做進一步的身體檢查．

（1）用X表示抽取的3人中睡眠不足的員工人數，求隨機變量X的分布列與數學期望；

（2）設A為事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的員工，也有睡眠不足的員工”，求事件A發(fā)生的概率．

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（1）求圖中a的值，并根據頻率分布直方圖估計這100名學生數學成績的平均分；

（2）從[70，80)和[80，90)分數段內采用分層抽樣的方法抽取5名學生，求在這兩個分數段各抽取的人數；

（3）現(xiàn)從第（2）問中抽取的5名同學中任選2名參加某項公益活動，求選出的兩名同學均來自[70，80)分數段內的概率.

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【題目】某中學擬在高一下學期開設游泳選修課，為了了解高一學生喜歡游泳是否與性別有關，現(xiàn)從高一學生中抽取人做調查，得到列聯(lián)表：

喜歡游泳

不喜歡游泳

合計

男生

40

女生

30

合計

100

且已知在個人中隨機抽取人，抽到喜歡游泳的學生的概率為.

（1）請完成上面的列聯(lián)表；

（2）根據列聯(lián)表的數據，是否有的把握認為喜歡游泳與性別有關？并說明你的理由.

附：（其中）和臨界值表：

0.50

0.40

0.25

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

0.45

0.708

1.32

2.072

2.706

3.84

5.024

6.635

7.879

10.83

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(1)若從這6個國家中任選2個，求這2個國家都是亞洲國家的概率；

(2)若從亞洲國家和歐洲國家中各選1個，求這兩個國家包括A1，但不包括B1的概率．

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