Question

已知直角三角形ABC，其中∠ABC=60．，∠C=90°，AB=2，求△ABC繞斜邊AB旋轉一周所形成的幾何體的表面積和體積．

Answer 1

分析：由已知中直角三角形ABC的斜邊長AB=2，∠B=60°，我們可以判斷出以斜邊AB為軸旋轉一周，所得旋轉體的形狀是AB邊的高CO為底面半徑的兩個圓錐組成的組合體，幾何體的表面積是兩個圓錐的側面積之和，
分別計算出兩個圓錐的母線長，代入圓錐側面積公式；即可求出旋轉體的表面積；
計算出底面半徑及兩個圓錐高的和，代入圓錐體積公式，即可求出旋轉體的體積．

解答：解：（1）如圖以斜邊AB為軸旋轉一周，得旋轉體是以AB邊的高CO為底面半徑的兩個圓錐組成的組合體

∵AB=2，CB=1，∠B=60°
∴CB=sin30°•AB=1，CA=cos30°•AB=

3

，
CO=

AC•CB

AB

=

3

2

，
故此旋轉體的表面積，S=π×OC×AC+π×OC×BC=π×

3

2

×（

3

+1）=

3+ 3

2

π
故此旋轉體的體積V=

1

3

•πr²•h=

1

3

•π•CO²•AB=

1

3

×π×

3

4

×2=

π

2

．

點評：本題考查了旋轉體的表面積與體積，其中判斷旋轉體的形狀，旋轉半徑，母線長及高是解答問題的關鍵．