Question

14．設雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$的一條漸近線為y=-2x，且一個焦點與拋物線$y=\frac{1}{4}{x^2}$的焦點相同，則此雙曲線的方程為（　�。�

• A． $\frac{5}{4}{x^2}-5{y^2}=1$
• B． $5{y^2}-\frac{5}{4}{x^2}=1$
• C． $5{x^2}-\frac{5}{4}{y^2}=1$
• D． $\frac{5}{4}{y^2}-5{x^2}=1$

Answer 1

分析 求得拋物線的焦點坐標，可得a²+b²=1，由題意可得b=-4a，雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$的一條漸近線為y=-2x，可得$\frac{a}$=2，解得a，b，即可得到所求雙曲線的方程．

解答 解：拋物線x²=4y的焦點為（0，1），可得a²+b²=1
雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$的一條漸近線為y=-2x，∴$\frac{a}$=2，
解得a=$\frac{1}{\sqrt{5}}$，b=$\frac{2}{\sqrt{5}}$．
即有雙曲線的方程為$5{x^2}-\frac{5}{4}{y^2}=1$．
故選：C．

點評 本題考查雙曲線的方程的求法，注意運用拋物線的焦點和漸近線方程，考查運算能力，屬于中檔題．