Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB⊥AD，AC與BD交于點(diǎn)O，PA=3，AD=2，AB=2

3

，BC=6．
（Ⅰ）證明：BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）求直線PO與平面PAB所成的角的正弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面所成的角,直線與平面垂直的判定

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）在Rt△ABC中，利用已知可得∠BAC=60°，同理可得∠ABD=30°，進(jìn)而得到BD⊥AC，利用側(cè)面垂直的性質(zhì)可得PA⊥BD，利用線面垂直的判定定理即可得出；
（Ⅱ）過O作OE⊥AB交AB于E，則OE⊥平面PAB，所以∠OPE是直線PO與平面PAB所成的角，求出OE，PO，即可求直線PO與平面PAB所成的角的正弦值．

解答： （Ⅰ） 證明：因?yàn)锳D∥BC，AB⊥AD，AD=2，AB=2

3

，
所以tan∠ABD=

3

3

即∠ABD=30°．
又在直角△ABC中，tan∠BAC=

3

，所以∠BAC=

π

3

．
所以BD⊥AC
又因?yàn)镻A⊥平面ABCD，所以BD⊥PA．
所以BD⊥平面PAC；…（7分）
（Ⅱ）解：過O作OE⊥AB交AB于E，則OE⊥平面PAB，所以∠OPE是直線PO與平面PAB所成的角…（11分）
又在直角△ABO中，∠BAC=

π

3

，AB=2

3

，則OE=

3

2

，AO=

3

．
又在直角△PAO中，AO=

3

，AP=3，所以PO=2

3

．
所以sin∠OPE=

3

4

．
所以直線PO與平面PAB所成的角的正弦值為

3

4

．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系，線面所成角等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查空間想象能力和推理論證能力．