Question

已知函數(shù)f(x)=(m2-3)x

m+10

4

是冪函數(shù)，且圖象關于y軸對稱．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）當x∈[0，+∞）時，求f^-1（x）并討論其單調(diào)性．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由給出的函數(shù)是冪函數(shù)，則系數(shù)等于1，由系數(shù)等于1求出m的值，代入原函數(shù)后需保證函數(shù)為偶函數(shù)，否則舍掉；
（Ⅱ）由（Ⅰ）求出函數(shù)的解析式，求出定義域后，再把x用含有y的代數(shù)式表示，則可求得函數(shù)的反函數(shù)，然后利用函數(shù)的單調(diào)性定義證明．

解答：解：（Ⅰ）因為f(x)=(m2-3)x

m+10

4

是冪函數(shù)，
則m²-3=1，解得：m=±2．
當m=2時，f（x）=x³，圖象不關于y軸對稱，舍去；
當m=-2時，f（x）=x²，滿足f（x）的圖象關于y軸對稱，
所以所求的函數(shù)解析式為f（x）=x²．
（Ⅱ）當x∈[0，+∞）時，由y=x²，得y≥0．
又由y=x²，得：x=

y

，
∴f-1(x)=

x

(x≥0)．
函數(shù)f-1(x)=

x

在[0，+∞）上是增函數(shù)．
事實上，在[0，+∞）任取兩個實數(shù)x₁、x₂，且x₁＜x₂，
則f-1(x1)-f-1(x2)=

x1

-

x2

= ( x1 - x2 )( x1 + x2 ) x1 + x2 = x1-x2 x1 + x2 ，

∵0≤x₁＜x₂，∴x1-x2＜0，

x1

+

x2

＞0．
∴f-1(x1)-f-1(x2)＜0．即f-1(x1)＜f-1(x2)．
故f-1(x)=

x

在[0，+∞）上是增函數(shù)．

點評：本題考查了冪函數(shù)的定義，需要注意的是，只有y=x^α型的函數(shù)才是冪函數(shù)，考查了函數(shù)的奇偶性，訓練了函數(shù)反函數(shù)的求法及利用定義證明函數(shù)單調(diào)性，此題是中檔題．